2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 11:35 


28/02/09
157
найти sinA, гдеA=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}
Характеристический многочлен (1-\lambda)^3 то есть \lambda=1
$r_0=3, r_1=rang(A-\lambda*E)=1, r_2=rang(A-\lambda*E)^2=0$
число жордановых клеток размерности 1 равна $r_0-2r_1+r_2=1$
Таким образом получим Жорданова форма J=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}
Все правильно? а как найти дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13288
с Территории
Дальше синус в степенной ряд и понеслась.
Только жорданова форма, по-моему, немного не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 13:20 


28/02/09
157
согласен, опечатался элемент $j_{23}=1$ должен быть.
Можно поподробнее? $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+(-1)^{n-1}*\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$ до какого члена раскладывать и что дальше делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 13:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13288
с Территории
Раскладывать до упора (до бесконечности), а потом подставлять в него матрицу в жордановой форме - Вы же её можете возвести в куб? в пятую? в любую степень? ну вот так.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 14:00 


28/02/09
157
$sinA=J(A)-\frac{{J(A)}^3}{3!}+\frac{{J(A)}^5}{5!}+...+(-1)^{n-1}*\frac{{J(A)}^{2n-1}}{(2n-1)!}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}-\frac{1}{3!}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&n-1\\0&0&1\end{pmatrix}$

И вообще общий алгоритм?
1)Найти жорданову форму
2)разложить функцию в ряд тейлора
3)подставить в этот ряд жорданову форму

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13288
с Территории
Как-то так. Только не надо забывать ещё такие штуки справа и слева: $A=CJC^{-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 14:57 


28/02/09
157
Ладно, а С это матрица перехода, состоящая из собственных и присоединненых векоров?
\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}(x,y,z)^T=0
получаем $2z=0$ то есть x и y выбираем произвольными. Будет 2 собственных вектора (1,0,0) и (0,1,0). Так как собств.значение 3 степени, то должно быть 3 собственных вектора, да? Присоединенный можно к любому из них искать? Системе же странная выйдет...\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}(x,y,z)^T=(1,0,0)^T Что делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 17:33 


11/03/08
480
Петропавловск, Казахстан
А разве неверно, что если матрица в жордановой форме, то функция от нее равна матрице, элементами, которой являются функции соответствующих элементов, стоящих на диагонали, а выше диагонали ничего не меняется? И функция от матрицы вычисляется так: $f(A)=C^{-1}f(J(A))C$

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 17:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13288
с Территории
Со вторым утверждением я согласен, первое же предоставляю Вам проверить на примере матрицы $\left(\begin{matrix}1&1\\ 0&1\end{matrix}\right)$ и функции $x^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 17:47 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
BVR в сообщении #518530 писал(а):
А разве неверно, что если матрица в жордановой форме, то функция от нее равна матрице, элементами, которой являются функции соответствующих элементов, стоящих на диагонали, а выше диагонали ничего не меняется? И функция от матрицы вычисляется так: $f(A)=C^{-1}f(J(A))C$

Это, если жорданова форма диагональна (все жорд. клетки одномерны).

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 17:53 


28/02/09
157
Так все таки как вычислить эту сопряженную матрицу? что я не так делаю?(

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 17:56 


11/03/08
480
Петропавловск, Казахстан
И вправду :shock:
Извините, что влез.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 18:21 
Заслуженный участник


12/08/10
1038
$F\left(\begin{matrix}\lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\0&0&\lambda\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}F(\lambda)&F'(\lambda)&F''(\lambda)\\ 0&F(\lambda)&F'(\lambda)\\0&0&F(\lambda)\end{matrix}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 18:28 


11/03/08
480
Петропавловск, Казахстан
Null

А там где стоит вторая производная разве не надо на 2 поделить?
Вот нашел краткое описание процесса:
http://dep805.ru/education/kk/jmatrix/part6.htm

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 18:48 


28/02/09
157
ну алгоритм я более-менее понял....скажите, что я не так делаю, вычисляя матрицу сопряженную. я уже правда не знаю..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group