2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 18:52 


14/07/10
206
Функцию от матрицы можно строить и не используя жорданову форму. И на мой взгляд этот способ проще. Состоит он в следующем. Пусть функция $f$ определена на спектре матрицы $A$ и мы хотим построить $f(A)$. Далее, пусть $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ это собственные числа (т.е. спектр) матрицы $A$, с кратностями $l_1, \ldots, l_k$. Необходимо найти такой многочлен $p(\lambda)$, чтобы $f^{(s)}(\lambda_i) = p^{(s)}(\lambda_i)$ для всех $s \in \{ 0, 1, \ldots, l_i -1 \}$ и $i \in \{ 1,\ldots, k \}$. Тогда $f(A) = p(A)$.
Если размерность матрицы невелика (как в примере), то удобно искать многочлен $p$ методом неопределённых коэффициентов. При этом степень многочлена, очевидно, нужно брать равной $n-1$, где $n$ - размерность матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13262
с Территории
patriarch в сообщении #518571 писал(а):
скажите, что я не так делаю, вычисляя матрицу сопряженную. я уже правда не знаю..

Ой, я не помню, как там оно. Возьмите железкой да посмотрите.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 19:07 


28/02/09
157
ИСН в сообщении #518582 писал(а):

Ой, я не помню, как там оно. Возьмите железкой да посмотрите.

Что за железка? да и хочется разобраться...ведь на зачете эта тема будет...

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7997
Diкий Запад
patriarch в сообщении #518586 писал(а):
Что за железка? да и хочется разобраться...ведь на зачете эта тема будет...

"Железка"- это такой силиконовый камень. Обычно от фирмы Intel или AMD.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение22.12.2011, 21:10 
Заслуженный участник


12/08/10
1022
BVR в сообщении #518562 писал(а):
Null

А там где стоит вторая производная разве не надо на 2 поделить?
Вот нашел краткое описание процесса:
http://dep805.ru/education/kk/jmatrix/part6.htm

Да.
$F\left(\begin{matrix}\lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\0&0&\lambda\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}F(\lambda)&F'(\lambda)&F''(\lambda)/2\\ 0&F(\lambda)&F'(\lambda)\\0&0&F(\lambda)\end{matrix}\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение23.12.2011, 17:43 


28/02/09
157
patriarch в сообщении #518468 писал(а):
$sinA=J(A)-\frac{{J(A)}^3}{3!}+\frac{{J(A)}^5}{5!}+...+(-1)^{n-1}*\frac{{J(A)}^{2n-1}}{(2n-1)!}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}-\frac{1}{3!}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&n-1\\0&0&1\end{pmatrix}$

И вообще общий алгоритм?
1)Найти жорданову форму
2)разложить функцию в ряд тейлора
3)подставить в этот ряд жорданову форму

Так, ладно, матрицу перехода я с горем пополам нашел. $C=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&0,5\end{pmatrix}-$
Теперь я так понимаю надо весь ряд умножить слева на $C^{-1}$ и справа на $C$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение23.12.2011, 20:18 


28/02/09
157
я правильно понял, что $sin(J)=\begin{pmatrix}sin(1)&cos(1)&-\frac{1}{2}*sin(1)\\0&sin(1)&cos(1)\\0&0&sin(1)\end{pmatrix}$
$sin(A)=C*sin(J)C^{-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение24.12.2011, 05:45 


28/02/09
157
Подскажите, а то я запутался..вот в примере $J=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$
А $e^J=\begin{pmatrix}e&0\\0&1\end{pmatrix}$
разве элемент $e_{12}$ не должен быть равен $\frac{d}{dx}e^x$ при x=0 и получится 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение24.12.2011, 05:51 
Заслуженный участник


11/05/08
31745
Здесь же жордановы клетки тривиальны. А та формула относилась к случаю нетривиальной клетки.

 Профиль  
                  
 
 Re: функция от матриц
Сообщение24.12.2011, 06:13 


28/02/09
157
ewert
то есть я не правильно посчитал? в первой строке у меня второй и третий элемент должны быть нулевые? так как одна из клеток тривиальна?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group