функция от матриц

[patriarch]

найти sinA, гдеA=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}
Характеристический многочлен (1-\lambda)^3 то есть \lambda=1
$r_0=3, r_1=rang(A-\lambda*E)=1, r_2=rang(A-\lambda*E)^2=0$
число жордановых клеток размерности 1 равна $r_0-2r_1+r_2=1$
Таким образом получим Жорданова форма J=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}
Все правильно? а как найти дальше?

[ИСН]

Дальше синус в степенной ряд и понеслась.
Только жорданова форма, по-моему, немного не так.

[patriarch]

согласен, опечатался элемент $j_{23}=1$ должен быть.
Можно поподробнее? $sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+(-1)^{n-1}*\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$ до какого члена раскладывать и что дальше делать?

[ИСН]

Раскладывать до упора (до бесконечности), а потом подставлять в него матрицу в жордановой форме - Вы же её можете возвести в куб? в пятую? в любую степень? ну вот так.

[patriarch]

$sinA=J(A)-\frac{{J(A)}^3}{3!}+\frac{{J(A)}^5}{5!}+...+(-1)^{n-1}*\frac{{J(A)}^{2n-1}}{(2n-1)!}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}-\frac{1}{3!}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}*\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&n-1\\0&0&1\end{pmatrix}$

И вообще общий алгоритм?
1)Найти жорданову форму
2)разложить функцию в ряд тейлора
3)подставить в этот ряд жорданову форму

[ИСН]

Как-то так. Только не надо забывать ещё такие штуки справа и слева: $A=CJC^{-1}$

[patriarch]

Ладно, а С это матрица перехода, состоящая из собственных и присоединненых векоров?
\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}(x,y,z)^T=0
получаем $2z=0$ то есть x и y выбираем произвольными. Будет 2 собственных вектора (1,0,0) и (0,1,0). Так как собств.значение 3 степени, то должно быть 3 собственных вектора, да? Присоединенный можно к любому из них искать? Системе же странная выйдет...\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}(x,y,z)^T=(1,0,0)^T Что делать?

[BVR]

А разве неверно, что если матрица в жордановой форме, то функция от нее равна матрице, элементами, которой являются функции соответствующих элементов, стоящих на диагонали, а выше диагонали ничего не меняется? И функция от матрицы вычисляется так: $f(A)=C^{-1}f(J(A))C$

[ИСН]

Со вторым утверждением я согласен, первое же предоставляю Вам проверить на примере матрицы $\left(\begin{matrix}1&1\\ 0&1\end{matrix}\right)$ и функции $x^2$.

[мат-ламер]

BVR в сообщении #518530 писал(а):

А разве неверно, что если матрица в жордановой форме, то функция от нее равна матрице, элементами, которой являются функции соответствующих элементов, стоящих на диагонали, а выше диагонали ничего не меняется? И функция от матрицы вычисляется так: $f(A)=C^{-1}f(J(A))C$

Это, если жорданова форма диагональна (все жорд. клетки одномерны).

[patriarch]

Так все таки как вычислить эту сопряженную матрицу? что я не так делаю?(

[BVR]

И вправду
Извините, что влез.

[Null]

$F\left(\begin{matrix}\lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\0&0&\lambda\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}F(\lambda)&F'(\lambda)&F''(\lambda)\\ 0&F(\lambda)&F'(\lambda)\\0&0&F(\lambda)\end{matrix}\right)$

[BVR]

Null

А там где стоит вторая производная разве не надо на 2 поделить?
Вот нашел краткое описание процесса:
http://dep805.ru/education/kk/jmatrix/part6.htm

[patriarch]

ну алгоритм я более-менее понял....скажите, что я не так делаю, вычисляя матрицу сопряженную. я уже правда не знаю..