Два вопроса по теории групп

[Imaginarium]

Здравствуйте, уважаемые коллеги.

Прошу помощи по двум вопросам по теории групп:

1) Пусть B - подгруппа в $ GL_2(\mathbb R) $, состоящая из верхнетреугольных матриц, а U- подгруппа в В, состоящая из матриц с единицами на главной диагонали. Докажите, что $ B / U \cong \mathbb R^* \times \mathbb R^*$

ВОПРОС: как определить $B / U$ ?

2) Что такое конструкция $ \mathbb Z/35\mathbb Z \oplus \mathbb Z/7\mathbb Z$ ?
Как устроена в нем операция сложения?

Заранее спасибо за внимание.

[AV_77]

Imaginarium в сообщении #518169 писал(а):

1) Пусть B - подгруппа в $ GL_2(\mathbb R) $, состоящая из верхнетреугольных матриц, а U- подгруппа в В, состоящая из матриц с единицами на главной диагонали. Докажите, что $ B / U \cong \mathbb R^* \times \mathbb R^*$

ВОПРОС: как определить $B / U$ ?

Для начала выяснить что такое вообще факторгруппа и как она строится. Потом найти смежные классы.

Imaginarium в сообщении #518169 писал(а):

2) Что такое конструкция $ \mathbb Z/35\mathbb Z \oplus \mathbb Z/7\mathbb Z$ ?
Как устроена в нем операция сложения?

Это прямая сумма групп $\mathbb{Z} / 35 \mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}$. Осталось выяснить какие операции в этих двух группах и что такое прямая сумма.

[Imaginarium]

Цитата:

Осталось выяснить какие операции в этих двух группах и что такое прямая сумма.

ну, какие операции-то в этих группах понятно- это сложения по модулю 35 и 7 соответственно. А вот что происходит с этой операцией при прямой сумме...

-- 21.12.2011, 22:05 --

Кажется, я начал понимать.

Пример:

Пусть $\varphi : \mathbb Z/35 \mathbb \rightarrow \mathbb Z/5Z \oplus \mathbb Z/7 \mathbb Z$, тогда $\varphi (22) = (2,1)$
Верно?

[bnovikov]

Imaginarium в сообщении #518169 писал(а):

Как устроена в нем операция сложения?

Вы все-таки сформулируйте этот вопрос поточнее. Может быть, тогда и сами все поймете.

[Sonic86]

Imaginarium в сообщении #518197 писал(а):

Пусть $\varphi : \mathbb Z/35 \mathbb \rightarrow \mathbb Z/5Z \oplus \mathbb Z/7 \mathbb Z$, тогда $\varphi (22) = (2,1)$
Верно?

Без указания изоморфизма это просто некорректно, так как группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_7)$ нетривиальна. Я, например, могу указать изоморфизм $\psi : \psi (22) = (1;3)$. Укажите изоморфизм явно, тогда можно будет проверить.

[Imaginarium]

Цитата:

Укажите изоморфизм явно, тогда можно будет проверить.

Извините за некорректность, не сразу разобрался:
об изоморфизме известно только, что $\varphi(1)=(1,1)$

[AV_77]

Тогда правильно.

[alcoholist]

И по первой задаче... Сначала докажите, что подгруппа нормальная -- это просто определение откройте, да три матрицы перемножьте

Теперь напишите какую-нибудь матрицу из большой группы, а к ней справа припишите матрицу из маленькой:

$$\left( \begin{array}{cc} a&b\\ 0&c \end{array}\right) \left( \begin{array}{cc} 1&x\\ 0&1 \end{array}\right)$$

Вот эта совокупность матриц ($x\in\mathbb{R}$) и есть смежный класс.
Теперь ищите такое значение $x$, чтобы произведение было о-о-чень простым -- это и будет нужный представитель.

[Imaginarium]

Большое спасибо всем за помощь и внимание.


В процессе разбора и решения задач возникли еще 2 теоретические проблемы:

1. Пусть $G$- группа. $H \leqslant G, K \leqslant G$.
Существуют $a,b \in G : aK \subseteq bH$.
Доказать, что $K\leqslant H$.

2. Нужно убедиться в том, что циклическая группа $[G,G]$, порожденная коммутантом $xyx^-^1y^-^1; x,y \in G$ является нормальной подгруппой: $[G,G] \triangleleft G$.

По поводу второго вопроса у меня выходит следующее:

докажем, что $g[G,G] = [G,G]g$:
$a,b,x,y,g \in G$

$g(xyx^-^1y^-^1) = (aba^-^1b^-^1)g; $

$e = ((aba^-^1b^-^1)g)(g(xyx^-^1y^-^1))^-^1$

как из этого следует нормальность $[G,G]$ -пока не понимаю.

По поводу первого вопроса вообще пока никаких соображений, прошу подсказки.

[AV_77]

Imaginarium в сообщении #520633 писал(а):

1. Пусть $G$- группа. $H \leqslant G, K \leqslant G$.
Существуют $a,b \in G : aK \subseteq bH$.
Доказать, что $K\leqslant H$.

Если $aK \subseteq bH$, то $K \subseteq a^{-1}bH$. А дальше понятно.

[Профессор Снэйп]

Что такое конструкция $ \mathbb Z/35\mathbb Z \oplus \mathbb Z/7\mathbb Z$ ?
Как устроена в нем операция сложения?

$\mathbb{Z}_{35} \oplus \mathbb{Z}_7 \cong \mathbb{Z}_5 \oplus \mathbb{Z}_7 \oplus \mathbb{Z}_7$

Тройки чисел. Складываются. Перваяскладывается по модулю $5$, две другие - по модулю $7$. Представьте себе $\mathbb{Z}^3$, который разбили на параллелелепипеды $5 \times 7 \times 7$ и все их совместили параллельным переносом. Ну или один такой параллелепипед три раза "свернули в трубочку", склеив противоположные концы

[Imaginarium]

Спасибо, Профессор.
Я вполне могу себе представить склеивание параллелепипеда, но почему-то не могу это увязать с прямой суммой, хотя интуитивно осознаю, что это именно она.
Ранее я писал, что

Цитата:

Пусть $\varphi : \mathbb Z/35 \mathbb \rightarrow \mathbb Z/5Z \oplus \mathbb Z/7 \mathbb Z$, тогда $\varphi (22) = (2,1)$

-это как раз и означает, что при $\varphi(1)=(1,1)$ я нахожу сначала остаток отделения 22 на 5, и вписываю его в ответ как первое число в паре, потом тоже самое по модулю 7 -это второе число в паре. Это можно представить в виде склеивания не параллелепипеда, а прямоугольника со сторонами 5 и 7?

[greg_trg]

AV_77 в сообщении #520654 писал(а):

Imaginarium в сообщении #520633 писал(а):

1. Пусть $G$- группа. $H \leqslant G, K \leqslant G$.
Существуют $a,b \in G : aK \subseteq bH$.
Доказать, что $K\leqslant H$.

Если $aK \subseteq bH$, то $K \subseteq a^{-1}bH$. А дальше понятно.

Здравствуйте, не могли бы Вы сказать, что делать дальше?
Правильно я понимаю, что для доказательства нам необходимо доказать лишь, что $K \subseteq H$ т.к. $K$ уже группа?

[Imaginarium]

по поводу коммутанта: почему $ g[a,b]g^{-1} = gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}=[gag^{-1},gbg^{-1}] \in [G,G] $, где $[a,b]$- коммутант для $a,b \in G $ - как-то не очевидно...

[Joker_vD]

$$[gag^{-1},gbg^{-1}]=gag^{-1}gbg^{-1}(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}=\ldots$$