вопрос о факториале

[vova_spb]

здравствуйте , помогите пожайлуста разобраться со след. проблемой : меня интересует можно ли написать аналитические формулы для вычисления производных до (n-1) порядка включительно от функции y=(x^n)! ? слышал , что это можно как-то сделать через Г -функцию , если да - то разъяните подробно как , и возможно существуют иные способы решения данной проблемы ?..заранее спасибо , жду вариантов .

[Brukvalub]

\[ (x^n )^{(k)} = \frac{{n!}} {{(n - k)!}}x^{n - k} \]

при

\[ k \leqslant n \]

[vova_spb]

2Brukvalub: мне кажется вы меня не так поняли , я говорю о производной функции (x^n)! ( факториал на конце )

[Lion]

Факториал натурального числа является частным случаем более общей формулы, использующей гамма-функцию: $\Gamma(x)=\int\limits_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt$. Поэтому то, что Вы обозначаете $(x^n)!$, наверное, нужно записать как $\Gamma(x^n+1)$. Эту функцию можно бесконечно дифференцировать по х, так что $(\Gamma(x^n+1))'=nx^{n-1}\int\limits_0^\infty t^{x^n}\ln t e^{-t}dt$.

[Brukvalub]

Да, я Вас понял не так, а теперь вообще не понимаю. Для начала хотелось бы понять смысл, например, выражения

\[ (\pi ^2 )! \]

? (здесь знак ? является знаком препинания)
Послал и увидел перед своим постом пост Lionа. Возражу и ему: через множество точек координатной плоскости вида

\[ (n\;;\;n!)\quad ,\;n \in N \]

можно провести бесконечно много даже бесконечно гладких кривых. Непонятно, почему Вам приглянулась именно та кривая, которая является графиком используемой Вами функции ?

[vova_spb]

[quote="Brukvalub"]Да, я Вас понял не так, а теперь вообще не понимаю. Для начала хотелось бы понять смысл, например, выражения

\[ (\pi ^2 )! \]

? (здесь знак ? является знаком препинания)
Да , я выразился не совсем понятно , поэтому задам другой вопрос : можно ли вообще анализировать функцию заданную например y=x! ? т.е. корректно ли вообще это равенство ? ( хотелось узнать мнение но не через Г-функцию ).

[Brukvalub]

Анализировать можно всё, что угодно, но сначала нужно определить понятие или объект, который Вы хотите изучать. Часто , как указал Lion, принимают $(x)!=\Gamma(x+1)$, но это только одна из бесконечного количества возможностей гладкого продолжения заданной на натуральных числах функции $(n)!$.

[RIP]

vova_spb писал(а):

Да , я выразился не совсем понятно , поэтому задам другой вопрос : можно ли вообще анализировать функцию заданную например y=x! ?

Так записанная функция определена только при целых неотрицательных $x$. Если Вы хотите анализировать функцию при вещественных $x$, сначала нужно определиться, что понимать под $x!$ при вещественных $x$. Можно под этим понимать $\Gamma(x+1)$, например.
Известно, что единственная непрерывная функция $f\colon(0;+\infty)\to(0;+\infty)$, которая удовлетворяет свойствам: $f(1)=1,\ f(x+1)=xf(x),\ \ln f(x)$ - выпуклая функция,
это $f(x)=\Gamma(x)$.
Свойства $f(1)=1,\ f(x+1)=xf(x)$ есть вполне естественное обобщение соотношений $0!=1,\ n!=n\cdot(n-1)!$ (если считать $f(n+1)=n!$).

[нг]

vova_spb писал(а):

мне кажется вы меня не так поняли , я говорю о производной функции (x^n)! ( факториал на конце )

О! для того, чтобы Вас правильно понимали, следует пользоваться тегом [ math ] и окружать формулы знаками $. Тогда и не будет разночтений. И даже правила форума будут соблюдены (1.1.к).