Вопрос про производную

[Unconnected]

Производная - скорость изменения функции, равна пределу отношения приращения Y к приращению X. То есть, производная в точке - скорость изменения функции в этой точке.. но вот если слева от этой точки функция почти не изменялась, а справа сразу же резко рванула вверх - производная будет равна чему-то среднему или как?

[MrDindows]

Unconnected в сообщении #514970 писал(а):

Производная - скорость изменения функции, равна пределу отношения приращения Y к приращению X. То есть, производная в точке - скорость изменения функции в этой точке.. но вот если слева от этой точки функция почти не изменялась, а справа сразу же резко рванула вверх - производная будет равна чему-то среднему или как? И ещё, сама формула производной функции выводится прямо из предела, записанного в общем виде?

Фраза "в этой точке" отвечает на ваш следующий вопрос. Для производной в некоторой точке, не важно что там слева в функции или справа, пусть она там хоть в бублик закручивается. Важно лишь то, что в самой этой точке. Ну а точнее говоря, из определения, на бесконечно малом отрезке в окрестностях этой точки.

[Unconnected]

А сама формула производной функции выводится прямо из предела, записанного в общем виде? Пробовал найти для синуса так: $\lim_{\Delta x \to 0 }\frac{sin(x+\Delta x)-sin(x)}{\Delta x}$, там по разности синусов, эквивалентные.. что-то не косинус вышел (положил $\Delta x$ как о(x)).

И ещё, в вики написано: если в точке ф-я дифференцируема, то она там и непрерывна, обратное верно не всегда. В каком это случае обратное неверно?

[Legioner93]

Unconnected в сообщении #514974 писал(а):

И ещё, в вики написано: если в точке ф-я дифференцируема, то она там и непрерывна, обратное верно не всегда. В каком это случае обратное неверно?

Функция $y=|x|$ не дифференцируема в нуле. Докажите это сами, в качестве упражнения.

[Portnov]

Unconnected
При выводе формул для производных из определения общий алгоритм такой: сначала всё что можно раскрываем (ну, например, в вашем примере — синус суммы), сокращаем и т.д., и только потом устремляем $\Delta x$ к нулю. Про $\Delta x = o(x)$ — это вообще неправда ($\Delta x$ стремится к нулю, а $x$ — нет).

[Unconnected]

почему |х| не дифференциируема в 0 - понятно по определению (пределы слева-справа не совпадают,1 и -1). Вопрос в том, почему так происходит.. Чем этот "угол" принципиально отличается в нуле от x^2,например?

[Александрович]

Unconnected в сообщении #514974 писал(а):

Пробовал найти для синуса так: $\lim_{\Delta x \to 0 }\frac{sin(x+\Delta x)-sin(x)}{\Delta x}$, там по разности синусов, эквивалентные.. что-то не косинус вышел (положил $\Delta x$ как о(x)).

Должно получиться.
$\lim_{\Delta x \to 0 }\frac{\cos (x+\Delta x/2)\sin (\Delta x/2)}{\Delta x/2}$

[INGELRII]

Unconnected в сообщении #515116 писал(а):

Чем этот "угол" принципиально отличается в нуле от ,например?

Видимо, тем, что у икс-квадрат производная слева стремится к нулю, и справа тоже к нулю. А у икс-модуль слева к -1, справа к 1. Как на мой взгляд, это и есть причина

[Joker_vD]

$\Delta x = o(x)$? Нет, формально-то это правда, ведь как ни крути, $x$ — постоянная, а $\Delta x$ — бесконечно малая, но... во-первых, $x$ бывает равен нулю, а во-вторых, толку-то?

[Unconnected]

Для синуса вывел, да и в Фихтенгольце есть.. Меня интересует как бы "физический" смысл отсутствия производной. Т.е. допустим просто производная это скорость изменения функции в точке. А когда её нет, а функция ведь как-то изменяется - в чём дело?

[arseniiv]

Смотря какого рода у неё там разрыв, наверно.

[Unconnected]

А если нет разрыва, как в случае $|x|$?

[ИСН]

Тогда смотря какого рода излом. Излом бывает двух родов: "излом есть" и "излома нет".

[Joker_vD]

Unconnected
В смысле "нет"? Производная от функции $f(x)=|x|$ терпит разрыв в точке $x=0$.

[Unconnected]

Joker_vD, я имел в виду наличие разрыва у исходной функции.

Цитата:

Тогда смотря какого рода излом. Излом бывает двух родов: "излом есть" и "излома нет".

А как узнать, где есть и нет? У параболы в вершине, я так понимаю, излома нет..