Всегда ли иррационально

[nnosipov]

число $\sqrt[3]{2+\sqrt{a}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{a}}$, если $a>0$ --- рациональное число?

[Edward_Tur]

Если нет условия иррациональности $\sqrt a$, то достаточно записати число 4 в виде суммы кубов двух рациональных чисел

[Руст]

Всегда иррационально, так как на кривой $y^2=4-x^3$ нет рациональных точек, отличных от $x=0$.

[nnosipov]

Руст в сообщении #514218 писал(а):

Всегда иррационально, так как на кривой $y^2=4-x^3$ нет рациональных точек, отличных от $x=0$.

Если бы речь шла о кривой $y^3=4-x^3$, я бы это понял. Но откуда кривая $y^2=4-x^3$? И почему на ней нет других рациональных точек? Как это доказать?

Так, с кривой $y^2=4-x^3$ понятно. Осталось понять, почему на ней нет других рациональных точек.

[Руст]

Пусть $b=\sqrt[3]{2+\sqrt a},c=\sqrt[3]{2-\sqrt a}, d=b-c\in Q$. Тогда $bc=\sqrt[3]{4-a}, d(d^2+3bc)=2\sqrt a$.
Если $\sqrt a \not \in Q$, то $4-a=b^3c^3=(\frac 2d \sqrt a-\frac{d^2}{3})^3\to \frac{4a}{d^2}+2d=0$ - противоречие.
Поэтому $a=y^2, y\in Q$. Соответственно $bc$ так же рационально, т.е. $4-y^2=x^3$.

[nnosipov]

Руст, спасибо, я это уже понял. Но всё же разумнее сводить к однородному уравнению $x^3+y^3=4$ (как выше отметил Edward_Tur), поскольку исследование рациональных точек кривой $y^2=4-x^3$ всё равно к нему приведёт. Или есть какой-то другой способ?