2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Всегда ли иррационально
Сообщение11.12.2011, 10:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9112
число $\sqrt[3]{2+\sqrt{a}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{a}}$, если $a>0$ --- рациональное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Всегда ли иррационально
Сообщение11.12.2011, 12:26 
Заслуженный участник


03/12/07
373
Україна
Если нет условия иррациональности $\sqrt a$, то достаточно записати число 4 в виде суммы кубов двух рациональных чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Всегда ли иррационально
Сообщение11.12.2011, 12:30 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Всегда иррационально, так как на кривой $y^2=4-x^3$ нет рациональных точек, отличных от $x=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Всегда ли иррационально
Сообщение11.12.2011, 13:19 
Заслуженный участник


20/12/10
9112
Руст в сообщении #514218 писал(а):
Всегда иррационально, так как на кривой $y^2=4-x^3$ нет рациональных точек, отличных от $x=0$.
Если бы речь шла о кривой $y^3=4-x^3$, я бы это понял. Но откуда кривая $y^2=4-x^3$? И почему на ней нет других рациональных точек? Как это доказать?

Так, с кривой $y^2=4-x^3$ понятно. Осталось понять, почему на ней нет других рациональных точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Всегда ли иррационально
Сообщение11.12.2011, 13:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Пусть $b=\sqrt[3]{2+\sqrt a},c=\sqrt[3]{2-\sqrt a}, d=b-c\in Q$. Тогда $bc=\sqrt[3]{4-a}, d(d^2+3bc)=2\sqrt a$.
Если $\sqrt a \not \in Q$, то $4-a=b^3c^3=(\frac 2d \sqrt a-\frac{d^2}{3})^3\to \frac{4a}{d^2}+2d=0$ - противоречие.
Поэтому $a=y^2, y\in Q$. Соответственно $bc$ так же рационально, т.е. $4-y^2=x^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Всегда ли иррационально
Сообщение11.12.2011, 14:06 
Заслуженный участник


20/12/10
9112
Руст, спасибо, я это уже понял. Но всё же разумнее сводить к однородному уравнению $x^3+y^3=4$ (как выше отметил Edward_Tur), поскольку исследование рациональных точек кривой $y^2=4-x^3$ всё равно к нему приведёт. Или есть какой-то другой способ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group