Внесение под дифференциал.

[lampard]

Можно ли этот способ назвать методом внесения под дифференциал?

Что мы вносим под дифференциал $x$ или $x^2+1$?

$$\int \frac{x}{x^2+1}\; dx=\Big[\;dx=\frac{d(x^2+1)}{(x^2+1)'}\;\Big]= \int \frac{x}{x^2+1}\cdot \frac{d(x^2+1)}{(x^2+1)'}=\int \frac{x}{x^2+1}\cdot \frac{d(x^2+1)}{2x}=$$

$$=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C$$

[Dan B-Yallay]

Под дифференциал сначала вносим $x$ :
$xdx=\dfrac 1 2 d(x^2)$
а затем пользуемся тем, что $d(x^2)=d(x^2+C)$ для любой константы $C$

[lampard]

Dan B-Yallay в сообщении #513278 писал(а):

Под дифференциал сначала вносим $x$ :
$xdx=\dfrac 1 2 d(x^2)$
а затем пользуемся тем, что $d(x^2)=d(x^2+C)$ для любой константы $C$

Спасибо! А можно ли делать так, как сделал это я?

[AD]

lampard в сообщении #513431 писал(а):

А можно ли делать так, как сделал это я?

Странный вопрос. Вы же сделали, и у Вас всё сделалось
Да, всё так и есть, и именно это и советовали. Вы как-то слишком мучительно это записали просто.

[lampard]

AD в сообщении #513552 писал(а):

Вы как-то слишком мучительно это записали просто.

А мне кажется -- что так проще...Если что-то записываем под дифференциал, то на производную этого мы должны поделить

[arseniiv]

Так вы записывали с необходимой «корректировкой», а другие представляли одно выражение с дифференциалом другим. Одно и то же в итоге.

[Dan B-Yallay]

lampard в сообщении #513693 писал(а):

А мне кажется -- что так проще...Если что-то записываем под дифференциал, то на производную этого мы должны поделить

А внесите-ка $e^x$ под дифференциал: $\displaystyle \int e^xdx = \ ?$

[Утундрий]

Строго говоря $\[ d\left( {fg} \right) = \left( {df} \right)g + f\left( {dg} \right) \] $. Остальное - дело вкуса.

[lampard]

Dan B-Yallay в сообщении #513734 писал(а):

А внесите-ка $e^x$ под дифференциал: $\displaystyle \int e^xdx = \ ?$

А зачем в таком случае вносить под дифференциал, если интеграл -- табличный?

$\displaystyle \int e^xdx =\displaystyle \int e^x\dfrac{d(e^x)}{e^x}=\displaystyle \int d(e^x)=e^x+C ?$

Утундрий в сообщении #513738 писал(а):

Строго говоря $\[ d\left( {fg} \right) = \left( {df} \right)g + f\left( {dg} \right) \] $. Остальное - дело вкуса.

А как это здесь используется?

arseniiv в сообщении #513725 писал(а):

Так вы записывали с необходимой «корректировкой», а другие представляли одно выражение с дифференциалом другим. Одно и то же в итоге.

Хорошо, спасибо! А можно ли этот способ назвать внесением под дифференциал?
Если задание: Взять интеграл методом внесения под дифференциал. Можно ли считать, что именно тем способом мы делаем?
Просто так удобнее, на мой взгляд, чтобы не пытаться догадаться -- а дифференциал чего этот $xdx$.

[arseniiv]

lampard в сообщении #513770 писал(а):

Хорошо, спасибо! А можно ли этот способ назвать внесением под дифференциал?

AD в сообщении #513552 писал(а):

Странный вопрос. Вы же сделали, и у Вас всё сделалось

lampard в сообщении #513770 писал(а):

Если задание: Взять интеграл методом внесения под дифференциал. Можно ли считать, что именно тем способом мы делаем?

Вменяемый преподаватель, скорее всего, всё поймёт.

[lampard]

arseniiv в сообщении #513774 писал(а):

Вменяемый преподаватель, скорее всего, всё поймёт.

Хорошо, понятно. Спасибо.

[Dan B-Yallay]

Ваше решение правильное. Что касается терминологии
Замена переменной:

$$\int \dfrac{xdx}{x^2+1}=\textcolor{blue}{\Big|^{u=x^2+1}_{du=2xdx\ \to \ dx=\frac {du}{2x}} \Big|}=\int \dfrac{x}{u}\dfrac{du}{2x}= \frac 1 2 \int \frac {du}u=\ldots \hspace{30}(\star)$$

Внесение под дифференциал:

$$\int \dfrac{xdx}{x^2+1}=\textcolor{blue}{\Big|xdx=\frac 1 2 d(x^2)\Big|}= \frac 1 2 \int \dfrac {d(x^2)}{x^2+1}=\frac 1 2 \int \dfrac {d(x^2+1)}{x^2+1}=(\star)=\frac 1 2 \int \dfrac {du}{u} \ldots$$

Как видите, практически это одно и то же. Внесение под дифференциал обычно предполагает последующую замену переменной.
Нас учили так. Возможно неправильно учили.

[lampard]

Действительно, почти одно и тоже!

[ewert]

arseniiv в сообщении #513774 писал(а):

Вменяемый преподаватель, скорее всего, всё поймёт.

Dan B-Yallay в сообщении #513782 писал(а):

Как видите, практически это одно и то же.

Естественно, одно и то же. В конце концов. Тем не менее, "вменяемый преподаватель" может этого и не понять по принципиальным соображениям. Поскольку идеологически подходы всё-таки заметно различаются. И преподаватель вполне может пойти на принцип и заставлять отрабатывать оба способа.