Насчёт красиво не знаю. Идея-то достаточно проста. Просто если рассмотреть слагаемые ряда
![$\mathrm e^k=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{k^n}{n!}$ $\mathrm e^k=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{k^n}{n!}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/2/7f2fe3c630c597c2c8e861246c44960f82.png)
, то максимальные слагаемые расположены около
![$n=k$ $n=k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/8/9c816cbee3cb469f335eb5a003df1e6c82.png)
(надо рассмотреть отношение соседних), причём при удалении от этой "точки максимума" слагаемые убывают достаточно быстро, так что основной вклад дают слагаемые с
![$n=k+O(k^\alpha)$ $n=k+O(k^\alpha)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/1/b511ae0a22be35b5b671422f3b074e8282.png)
,
![$\alpha>1/2$ $\alpha>1/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/e/56ecaf6143645eb3794b03aafe81563c82.png)
. Кроме того, в таких пределах убывание примерно симметрично, откуда и получается ответ. Собственно, в книжке эти соображения сформулированы в виде формул. Чтобы реализовать эти соображения, придётся повозиться.