Помогите разложить многочлен на множители

[tdayne]

Привет ребят. Помогите разложить на множители $x^4+1$
Никак не дойду сам

[Whitaker]

$x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=.....$
Дальше попробуйте сами

[spaits]

tdayne в сообщении #511128 писал(а):

Привет ребят. Помогите разложить на множители x^4+1
Никак не дойду сам

Можно еще методом неопределенных коэффициентов:
$x^4+1=(x^2+Ax+1)(x^2+Bx+1)=x^4+(A+B)x^3+(AB+2)x^2+(A+B)x+1$.
Для вычисления коэффициентов $A$ и $B$ остается решить систему уравнений: $A+B=0$; $AB+2=0$.

[Klad33]

Тут почти в уме делается:

$x^4+1=(x^2-\sqrt{2} x +1)(x^2+\sqrt{2} x +1) $

[spaits]

Klad33 в сообщении #511178 писал(а):

Тут почти в уме делается:

Тогда разложите в уме: $x^4-2x^3-x^2-2x+1$.

[Klad33]

Как ни странно, но это еще проще:

$(x^2+x+1)(x^2-3x+1)$

Знать надо приемы.

[spaits]

Klad33 в сообщении #511187 писал(а):

Как ни странно, но это еще проще:

$(x^2+x+1)(x^2-3x+1)$

Знать надо приемы.

Я показала метод неопределенных коэффициентов.
Покажите приемы топикстартеру, чтобы он знал разные. Кстати, второй трином в этом примере разлагается на линейные множители.

[Klad33]

Расскажу уж секрет. При решении многих стандартных задач я разработал для себя мнемонические правила. Они иногда позволяют находить ответы быстрее, чем на компьютере. Ведь пока набьешь на мониторе данные, уходит время.
Мнемоника позволяет сразу записывать нужную систему или упрощенное условие.
Для приведенного полинома 4 степени я использую облегчающий стих, который помню всю жизнь:

в кубе ищем А плюс С,
АС плюс Б плюс Д в квадрате.
ох, линейны АД плюс БеС ,
БДи свободу, батя!

Решая эту систему (в простых случаях это производится в уме), находим:

$(x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D)$

[myra_panama]

Klad33 в сообщении #511349 писал(а):

Решая эту систему (в простых случаях это производится в уме), находим:

Каак это , я как то туплю с решениям систему уравнении ... и еще производит в уме
Хорошо...

$(x^2+Ax+B)(x^2+Cx+D)=x^4-2x^3-x^2-2x+1$

отсюда
$A+C=-2$
$B+D+AC=-1$
$AD+BC=-2$
$BD=1$
так дальше, что?

[Klad33]

Простите, уезжал в город, чтобы проголосовать...
Итак, как я решил в уме Ваш пример. Обычно, студентам дают полные полиномы 4-й степени, которые разлагаются на сомножители с целыми коэффициентами. У нас BD=1. Следовательно, смело предполагаю, что либо B=1 и D=1, либо оба они отрицательные. Предположим, что положительные. Тогда из 1 и 2 уравнений:
A+C=-2
AC=-3
Это - теорема Виета, которая легко решается в уме. Из первого выражаем A, подставляем во второе уравнение, получаем параболу с красивыми коэффициентами. Можно принять любой корень. Примем например, отрицательный корень C=-3. Тогда A=1. Проверяю - все верно. Ну и что сложного? На все затратил ровно минуту времени.
Если же такой фокус не проходит, и свободный коэффициент полинома не единица, а составное число или же (что совсем плохо) - либо дробное, либо в виде радикала, то решаю эту систему в Maple. Это потребует всего 2-3 минуты времени.

[myra_panama]

Klad33 в сообщении #511676 писал(а):

У нас BD=1. Следовательно, смело предполагаю, что либо B=1 и D=1, либо оба они отрицательные.

И вот проблема в этом .. вот другой например:
$x^4-2x^3+x^2-2x-1=0$

здесь $BD=-1$ как можно подобрать

[Shadow]

(Оффтоп)

Klad33 в сообщении #511676 писал(а):

решаю эту систему в Maple

Успокоили! Я то думал, что у Вас какой-то таинственный метод, строго хранящийся в тибетских монастырях и только Вы и Далай Лама умеете им пользоватся. А то...Maple

[AKM]

Klad33 в сообщении #511676 писал(а):

Это - теорема Виета, которая легко решается в уме

Теорема Виета в уме не решается.

[Klad33]

Балалайки тоже не стреляют.

-- 05.12.2011, 20:27 --

Shadow
Не волнуйтесь, есть у меня особый метод. Но и принцип есть: кто неуважительно относится к людям, тому ничего говорить не буду.

[Shadow]

(Оффтоп)

Но почему всегда надо воспринимать чувство юмора как неуважение? Людей, которых не уважаю, я с ними не общаюсь. И не шучу.