Интегрирование по частям

[magres]

Изучая теорию упругости, наткнулся на следующий вывод:



прошу извинить мои скромные познания в матане, но что за "интегрирование по частям" тут используется?

Всегда думал что это $ \int {ydx} = yx - \int {xdy}$

[svv]

В такой форме Вам, наверное, тоже понятно (http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts):
$\int \frac {df}{dx}\,g\, dx = fg - \int f \,\frac {dg}{dx}\, dx$

Как это доказывается:
$\int \frac {df}{dx}\,g \,dx + \int f\, \frac {dg}{dx}\, dx = \int \frac {d(fg)}{dx}\, dx = fg$
На последнем шаге применена формула Ньютона-Лейбница.

Один из случаев тензорных функций нескольких переменных и интегрирования по области:
$\int \frac {\partial f_k}{\partial x_k}\,g\, dV = \oint f_k \,g\,dS_k - \int f_k\, \frac {\partial g}{\partial x_k}\, dV$

Как это доказывается:
$\int \frac {\partial f_k}{\partial x_k}\,g\, dV + \int f_k\, \frac {\partial g}{\partial x_k}\, dV =\int \frac {\partial (f_k g)}{\partial x_k}\, dV = \oint f_k \,g\,dS_k $
На последнем шаге применена теорема Гаусса-Остроградского -- аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Функции $f$ и $g$ могут иметь дополнительные тензорные индексы, не показанные выше явно, например:
$\int \frac {\partial f_{ik}}{\partial x_k}\,g_i\, dV = \oint f_{ik} \,g_i\,dS_k - \int f_{ik}\, \frac {\partial g_i}{\partial x_k}\, dV$

Отсюда уже рукой подать до Вашего случая.

Как видите, $n$-мерный аналог внеинтегрального члена $fg$ -- это не слагаемое, вообще не стоящее под интегралом, а слагаемое под $n-1$-мерным поверхностным интегралом, который берется по границе $n$-мерной области. Наверное, поэтому Вы и не узнали здесь интегрирования по частям.

[Joker_vD]

Я еще добавлю, что интегралы из книги являются "определенными", т.е. считаются по областям. Для обычного определенного интеграла действует такая формула:

$$\int\limits_a^b \frac{df}{dx}g\,dx = fg\bigg|_a^b - \int\limits_a^b f\frac{dg}{dx}\,dx$$

Т.е. выносимый кусок тоже в некотором смысле "интегрируется" — мы изначально интегрировали по отрезку, а его граница — это две точки. Вот, теперь $fg$ "интегрируется" на его границе (двух точках). Та же идея применяется и для многомерных случаев: производная перекидывается с одного множителя на другой, при этом возникает дополнительное слагаемое — интеграл по границе области интегрирования.

(Оффтоп)

Вообще, наличие для совокупности первообразных термина "неопределенный интеграл" несколько затуманивает тот факт, что первично все-таки понятие определенного интеграла, и именно оно обобщается на многомерные случаи.

[Oleg Zubelevich]

Возможно, уместно будет напомнить общую формулу интегрирования по частям. Пусть $M\subset \mathbb{R}^m$ -- ограниченная область с гладкой границей; функции $f,g\in C^1(\overline M)$. Через $\omega,\, v$ oбозначим $m-$форму и векторное поле, оба объекта определены и дифференцируемы в окрестности $M$.

Если $L_v\omega=0$ то справедлива формула

$$\int_M(L_vf)g\omega=\int_{\partial M}fgi_v\omega-\int_Mf(L_vg)\omega,$$

здесь $L_v$ -- производная вдоль векторного поля; $i_v$ -- оператор гомотопии.
Эта формула является прямым следствием теоремы Стокса и тождества $L_v\omega=di_v\omega+i_vd\omega$.

[magres]

Цитата:

В такой форме Вам, наверное, тоже понятно (http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts):
$\int \frac {df}{dx}\,g\, dx = fg - \int f \,\frac {dg}{dx}\, dx$

Мне кажется тут правильнее было написать $\partial$ вместо $d$, т.е. $\frac {\partial f} {\partial x}$ и $\frac {\partial g} {\partial x}$
Иначе $dx$ сокращаются и все приводится к обычному виду $\int g\,df = gf - \int f\,dg$

Цитата:

Один из случаев тензорных функций нескольких переменных и интегрирования по области:
$\int \frac {\partial f_k}{\partial x_k}\,g\, dV = \oint f_k \,g\,dS_k - \int f_k\, \frac {\partial g}{\partial x_k}\, dV$

Как это доказывается:
$\int \frac {\partial f_k}{\partial x_k}\,g\, dV + \int f_k\, \frac {\partial g}{\partial x_k}\, dV =\int \frac {\partial (f_k g)}{dx_k}\, dV = \oint f_k \,g\,dS_k $
На последнем шаге применена теорема Гаусса-Остроградского -- аналог формулы Ньютона-Лейбница.

В $\int \frac {\partial (f_k g)}{dx_k}\, dV$ может быть нужно было вместо $dx_k$ написать $\partial x_k$? так можно было бы написать $\int f_k g \, \frac {\partial }{\partial x_k}\, \dot \, dV$ и он переходит в интеграл по поверхности? Вообще есть разница между дифференциальными символами (или операторами) $d \, \partial \, \delta$ ? уже путаница в них.

[svv]

magres писал(а):

В $\int \frac {\partial (f_k g)}{dx_k}\, dV$ может быть нужно было вместо $dx_k$ написать $\partial x_k$?

Спасибо, исправил. В предыдущей аналогичной формуле написал правильно, а здесь ошибся при наборе.

magres писал(а):

Цитата:

Мне кажется тут правильнее было написать $\partial$ вместо $d$, т.е. $\frac {\partial f} {\partial x}$ и $\frac {\partial g} {\partial x}$
Иначе $dx$ сокращаются и все приводится к обычному виду $\int g\,df = gf - \int f\,dg$

Здесь -- нет. $\frac {\partial f}{\partial x}$ -- частная производная функции $f$ по переменной $x$. Такой символ обычно не применяется для функций одной переменной. Тем более не стоит писать его, чтобы нельзя было сократить $dx$.

О сокращении $dx$ отдельный разговор. Математики здесь потребуют строгого обоснования и четкого понимания того, что обозначается через $dx$ и $df$. Слова "это бесконечно малое приращение $x$" не прокатывают. Но, допустим, мы всё обосновали. Тогда то, что после сокращения мы приходим к известной и понятной Вам формуле, только подтверждает правильность варианта с $ f \frac{dg}{dx}dx$. А он и без сокращения имеет самостоятельную ценность.

Когда я учился в школе, мне довелось столкнуться с человеком, который считал, что формула $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ обязывает нас $(a+b)^2$ вычислять только по этой формуле. Просто сложить и возвести в квадрат -- нельзя.

Разумеется, не обязывает. Но точно так же и возможность "сократить" $dx$, пусть мы 200 раз её строго обосновали, не обязывает нас это делать. Да и, в отличие от обычных дробей, имеем ли мы здесь упрощение в вычислительном смысле? Скажем, надо взять интеграл $\int x^2\frac{d(x^3)}{dx}dx$. Тут бы найти производную, но я беру и "сокращаю": $\int x^2\;d(x^3)$. А что дальше? Все равно ведь для вычисления придется либо вернуться к исходному варианту и таки взять производную, либо "по частям" $\int f\;dg$ привести к $\int g\;df$, но там то же самое. Либо понимать $t=x^3$ как новую независимую переменную, тогда ещё хуже: $x^2=t^{2/3}$.

Вам лучше понимать $\frac {d...}{dx}$, $\frac {\partial...}{\partial x}$, а также $\int ... dx$ как неделимые символы. Это, соответственно, производная (или полная производная в случае функции многих переменных); частная производная; интеграл.

-- Вс дек 04, 2011 14:43:57 --

Joker_vD писал(а):

Т.е. выносимый кусок тоже в некотором смысле "интегрируется" — мы изначально интегрировали по отрезку, а его граница — это две точки.

Ага. И если записать его как $(-1)f(a)g(a)+(+1)f(b)g(b)$, то плюс и минус единица -- это то, что осталось в одномерном случае от компонент вектора внешней нормали к границе области.

[magres]

svv в сообщении #511352 писал(а):

Здесь -- нет. $\frac {\partial f}{\partial x}$ -- частная производная функции $f$ по переменной $x$. Такой символ обычно не применяется для функций одной переменной. Тем более не стоит писать его, чтобы нельзя было сократить $dx$.

Тогда почему же используют $\delta$ в $\delta u_i$ вместо обычного дифференциала $du_i$ в формуле указанной в вырезке из учебника в первом посте? Это какой-то специальный символ дифференциала?

svv в сообщении #511352 писал(а):

Вам лучше понимать $\frac {d...}{dx}$, $\frac {\partial...}{\partial x}$, а также $\int ... dx$ как неделимые символы. Это, соответственно, производная (или полная производная в случае функции многих переменных); частная производная; интеграл.

Так значит это неделимые символы? В учебниках, как например в вышеуказанном, вовсю ведутся различные "махинации" с дифференциалам. Существует некая алгеброй на дифференциалах?

[ewert]

magres в сообщении #511607 писал(а):

почему же используют $\delta$ в $\delta u_i$ вместо обычного дифференциала $du_i$ в формуле указанной в вырезке из учебника в первом посте? Это какой-то специальный символ дифференциала?

Это символ "вариации", т.е. бесконечно малого приращения функции, обусловленного не изменением координат, а какими-то другими причинами. Буковку $\delta$ приходится изобретать вместо $d$ именно потому, что обозначение $du(x,y,z)$ уже занято за $u'_xdx+u'_ydy+u'_zdz$, требуется же описать приращение совсем в другом смысле.

[magres]

ewert в сообщении #511619 писал(а):

Это символ "вариации", т.е. бесконечно малого приращения функции, обусловленного не изменением координат, а какими-то другими причинами

ну в моем конкретно примере используется приращение энергии $\delta R$ при бесконечно малом приращении i-компонента вектора перемещений $\delta u_i$ бесконечно малого объема $dV$

ewert в сообщении #511619 писал(а):

Буковку $\delta$ приходится изобретать вместо $d$ именно потому, что обозначение $du(x,y,z)$ уже занято

Правильно я понимаю что знак $\delta$ используется потому что $d$ уже используется для обозначения $dV$?

[AKM]

По-моему, дельта здесь используется только для того, чтобы подчеркнуть характер этих функций --- небольшие приращения. Могло быть и $\Delta R,\;\Delta u$. Но не $d$: это не дифференциалы.

-- 05 дек 2011, 17:26 --

Заметьте: там встечается $\dfrac{\partial(\delta u)}{\partial x}$ (скобочки я добавил).

-- 05 дек 2011, 17:30 --

magres в сообщении #511704 писал(а):

при бесконечно малом приращении i-компонента вектора перемещений $\delta u_i$

В исходном тексте слова "бесконечно" нет.

[magres]

а ведь если же посмотреть с другой стороны, то

$\oint \sigma _{ik} \delta u _i \, df _k$

равно

$\int \frac {\partial \sigma _{ik}} {\partial x _k} \delta u _i dV $

тогда изначальное равенство вообще не имеет смысла

[magres]

Нет, я написал неправильно. Тут же все гораздо проще

$\frac {\partial \sigma _{ik}} {\partial x _k} \delta u _i = \frac {\partial ( \sigma _{ik} \delta u _i )} {\partial x _k} - \sigma _{ik} \frac {\partial \delta u _i} {\partial x _k}$

проинтегрировав

$\int \frac {\partial \sigma _{ik}} {\partial x _k} \delta u _i \, dV = \int \frac {\partial ( \sigma _{ik} \delta u _i )} {\partial x _k} \, dV - \int \sigma _{ik} \frac {\partial \delta u _i} {\partial x _k} \, dV$

а

$\int \frac {\partial ( \sigma _{ik} \delta u _i )} {\partial x _k} \, dV = \oint \sigma _{ik} \delta u _i \, df _k$

подставляем

$\int \frac {\partial \sigma _{ik}} {\partial x _k} \delta u _i \, dV = \oint \sigma _{ik} \delta u _i \, df _k - \int \sigma _{ik} \frac {\partial \delta u _i} {\partial x _k} \, dV$

тут даже не интегрирование по частям, а простая алгебра дифференциалов