Что есть аксиомы физики?

[epros]

anik в сообщении #511572 писал(а):

Высказывательная функция и аксиома это, на мой взгляд, не одно и то же. Если высказывательная функция принимает логическое значение "ложь", то означает ли это, что аксиома получается тоже ложной? Значит мы имеем, в том числе, бесконечное множество ложных аксиом? Или я что-то не так понял? Объясните пожалуйста.

(Оффтоп)

Ложные аксиомы - это круто.

Схема аксиом - это когда для каждой синтаксически правильной формулы определена соответствующая аксиома. На практике это означает, что мы должны уметь две вещи:
1) Проверить, что некое выражение является синтаксически правильной формулой. Например: $S(S(0)) \times x = x + S(0)$ - синтаксически правильная формула арифметики.
2) Записать для этой формулы соответствующую аксиому.

[Someone]

anik в сообщении #511572 писал(а):

Высказывательная функция и аксиома это, на мой взгляд, не одно и то же.

А кто говорил, что одно и то же? Не надо приписывать свою безграмотность другим.

anik в сообщении #511572 писал(а):

Если высказывательная функция принимает логическое значение "ложь", то означает ли это, что аксиома получается тоже ложной?

Логические значения высказывательной функции не имеют отношения к логическим значениям аксиомы. Но для понимания этого нужно хоть чуть-чуть знать математическую логику.

epros в сообщении #511571 писал(а):

Если я правильно понял Утундрия, он хотел обратить наше внимание на тот факт, что если тело отсчёта не деформируется, то пространственная геометрия не зависит от выбора гиперповерхностей $t = \operatorname{const}$.

Вряд ли он имел в виду это. К сожалению, я не знаю общего определения системы отсчёта, пригодного для СТО и ОТО. zbl что-то начал объяснять, но, по-моему, хватил через край. Если система отсчёта - это поле реперов (пусть даже ортонормированных, с одним времениподобным вектором), то по ним, вообще говоря, координаты не построить так, чтобы векторы этих реперов всюду касались соответствующих координатных линий (наоборот можно, за исключением особых точек).

Утундрий в сообщении #511501 писал(а):

Someone в сообщении #511458 писал(а):

Но кривизна сечения существенно зависит от выбора сечения и легко может оказаться ненулевой даже в плоском пространстве-времени.

И снова мы приходим к непониманию смысла систем отсчета...

Я заглянул во второй том ЛЛ. Там употребляются, например, такие слова, как "синхронная система отсчёта". И прямо говорится о возможности достаточно произвольного выбора пространственного сечения $t=0$ при построении синхронной системы отсчёта. Процедура применима и в СТО, правда, никто не гарантирует, что полученная система отсчёта будет покрывать всё пространство-время.

Не могли бы Вы сформулировать определение системы отсчёта, пригодное для ОТО?

[epros]

Someone в сообщении #511597 писал(а):

Если система отсчёта - это поле реперов (пусть даже ортонормированных, с одним времениподобным вектором), то по ним, вообще говоря, координаты не построить так, чтобы векторы этих реперов всюду касались соответствующих координатных линий (наоборот можно, за исключением особых точек).

Если задача заключается в том, чтобы определить систему измерений длин и промежутков времени, то мне непонятно: зачем нам вообще нужно по полю реперов определять координаты? На самом деле, в этом поле реперов три репера из четырёх являются избыточными: Они всего лишь определяют некие направления в пространственном трёхмерии, которые при измерении длин и промежутков времени никак не используются. Значение имеет лишь поле времени-подобных векторов, причём даже длина этих векторов несущественна, важно только направление. Это поле и определяет понятие "покоя" в каждой точке пространства-времени, т.е., собственно, и определяет СО.

Давая своё определение СО (ага, это здесь), я ранее добавил туда также и процедуру синхронизации. Это было сделано исключительно из тех соображений, чтобы результаты измерений можно было привязывать к неким "моментам времени". Если это нам не нужно (например, если задача стационарная), то это можно и опустить.

[anik]

Вот некоторые говорят, что философия вредна или, по крайней мере, бесполезна для науки.
Но, иногда не мешало бы посмотреть на состояние науки, в том числе математики, со стороны: туда ли мы гребём?
Говорить о бесконечности в физике бессмысленно, т.к. нельзя объять необъятное. Даже количество атомов в метагалактике оценивается как $10^{80}$. Это не бесконечность.
А если исключить бесконечность и непрерывность из анализа, то сильно ли пострадает математика? Может быть, нужно переосмыслить теорию пределов и исключить из неё определение бесконечно малых величин, которое похоже на парадокс Зенона об Ахилессе и черепахе. Когда речь заходит о конкретных вычислениях, то бесконечности не рассматриваются (на нуль делить, пока что, нельзя), а действительные числа неизбежно округляются до конечного числа десятичных знаков. Но это прикладная математика, математика приближённых методов расчета. Она сейчас на положении Золушки.
Чтобы рассмотреть температуру в «точке» или плотность, скажем, бетонной смеси в точке, напряженное состояние упругого материала в точке или плотность галактики, разве мы должны тупо устремлять объём к нулю (к чему нас пытаются сподвигнуть математики)? Плотность чего мы узнаем: нейтрона или межатомной пустоты? А понятие температуры в точке вообще становится бессмысленным. Или мы привыкли говорить одно а подразумевать другое?
Математики же, с упорством мухи, бьющейся об стекло, продолжают рассматривать бесконечности, несмотря на возникающие при этом парадоксы. Сколько бы нулевых длин (точек – действительных чисел) мы не складывали, мы никогда не получим конечную величину длины (отрезок на числовой оси). Природа по своей сущности дискретна, а непрерывность выхолащивает содержание природы до состояния "киселя".

[nestoklon]

anik в сообщении #511623 писал(а):

Когда речь заходит о конкретных вычислениях, ..., а действительные числа неизбежно округляются до конечного числа десятичных знаков.

Это зависит от вычислений. В алгебраических расчётах принято пользоваться круговыми полями. И ничего никуда не округляют.

anik в сообщении #511623 писал(а):

несмотря на возникающие при этом парадоксы

Нет при этом парадоксов. Нет. Есть только непонимание со стороны дилетантов.

anik в сообщении #511623 писал(а):

Природа по своей сущности дискретна,

Это вам Всевышний лично сообщил? В смысле, инфа 100%?

[EEater]

anik в сообщении #511623 писал(а):

А если исключить бесконечность и непрерывность из анализа

Интересно, что же это за анализ будет. Наверно, типа анализа кала.
Удивляют персоны, упорно сводящие математику к счетным палочкам.

[anik]

nestoklon в сообщении #511630 писал(а):

Это вам Всевышний лично сообщил? В смысле, инфа 100%?

А Вы возьмите объём, содержащий в себе множество галактик и мысленно стягивайте этот объём в "точку", наблюдая при этом за средней плотностью. Будет ли она монотонно возрастать или убывать, либо стремиться к какому-либо пределу?

-- Пн дек 05, 2011 16:43:09 --

EEater в сообщении #511640 писал(а):

anik в сообщении #511623 писал(а):

А если исключить бесконечность и непрерывность из анализа

Интересно, что же это за анализ будет. Наверно, типа анализа кала.
Удивляют персоны, упорно сводящие математику к счетным палочкам.

Понятия производной и интеграла определены для дискретных функций. Там нет понятия бесконечно малых величин. (Это по памяти, не заглядывая в инет).

(Оффтоп)

Слово анализ ещё имеет значения. См. абсурдопедию

[Joker_vD]

anik в сообщении #511623 писал(а):

Сколько бы нулевых длин (точек – действительных чисел) мы не складывали, мы никогда не получим конечную величину длины (отрезок на числовой оси).

Разумеется. Но так никто ж и не пытается этого сделать?

anik в сообщении #511623 писал(а):

Природа по своей сущности дискретна, а непрерывность выхолащивает содержание природы до состояния "киселя".

Как странно... а вот Ньютон считал иначе. Или вы думаете, он интегралы предпочитал потому, что с рядами он хуже работать умел?

anik в сообщении #511623 писал(а):

Но это прикладная математика, математика приближённых методов расчета. Она сейчас на положении Золушки.

Фигасе. У нас кафедра вычмата — одна из крупнейших на факультете, они каждый год по паре-тройке диссертаций защищают, как раз по "приближенным методам расчета".

anik в сообщении #511623 писал(а):

Чтобы рассмотреть температуру в «точке» или плотность, скажем, бетонной смеси в точке, напряженное состояние упругого материала в точке или плотность галактики, разве мы должны тупо устремлять объём к нулю (к чему нас пытаются сподвигнуть математики)? Плотность чего мы узнаем: нейтрона или межатомной пустоты? А понятие температуры в точке вообще становится бессмысленным. Или мы привыкли говорить одно а подразумевать другое?

"Так называемые Вечные Вопросы именуются вечными не потому, что на них не существует ответов. Они вечны как мандарины: век за веком ежедневно тысячи людей по всему миру дозревают до того, чтобы их вдохновенно задать".
Да откройте вы хоть "Общий курс физики" Сивухина, первый том, шестой параграф — "О смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам".

anik в сообщении #511641 писал(а):

Понятия производной и интеграла определены для дискретных функций. Там нет понятия бесконечно малых величин. (Это по памяти, не заглядывая в инет).

Что такое "дискретная функция"?

[anik]

Joker_vD в сообщении #511644 писал(а):

"Так называемые Вечные Вопросы именуются вечными не потому, что на них не существует ответов. Они вечны как мандарины: век за веком ежедневно тысячи людей по всему миру дозревают до того, чтобы их вдохновенно задать".
Да откройте вы хоть "Общий курс физики" Сивухина, первый том, шестой параграф — "О смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам".

Как Вы думаете, это недостаток тысяч людей которые "дозревают" или все-таки некоторый недостаток математики. Почему, чтобы понять о чём говорит математика нужно смотреть физику Сивухина?

-- Пн дек 05, 2011 18:57:03 --

Joker_vD в сообщении #511644 писал(а):

anik в сообщении #511641 писал(а):

Понятия производной и интеграла определены для дискретных функций. Там нет понятия бесконечно малых величин. (Это по памяти, не заглядывая в инет).

Что такое "дискретная функция"?

Где-то в 1974г в ТПИ (ныне ТПУ в Томске) нам читали лекции по ТАР. Там рассматривались функции заданные дискретно (может быть дескитезированные функции и я, как всегда, неправильно выразился). Рассматривались понятия производной и интегралов от таких функций. Помню производная справа отличалась от производной слева. Но при достаточной степени дискретизации этим различием можно пренебречь.
Реально по аналитическому выражению мы никогда не построим непрерывный график, это всё равно будут точки. Мы же отбрасываем бесконечно малые высшего порядка, также можно и пренебречь погрешностями от дискретизации, выбрав достаточное количество точек на оси OX. Всё равно, абсолютной точности мы никогда не получим, даже в математике. Действительное число может быть взято или представлено только приближённо. Или я неправ?

-- Пн дек 05, 2011 19:11:26 --

Мне кажется, что в определении бесконечно малой величины есть какя-то фальшивость или непонятка. Думаю я в этом не одинок. И приходится "скрепя сердце" соглашаться. Часто я читаю во введении: вы сначала не всё поймёте, только продвинувшись в изучении дальше вы поймёте глубину смысла. Но всё равно остаётся впечатление обманутости, просто начинаешь к этому ощущению привыкать.

[EEater]

anik в сообщении #511680 писал(а):

Действительное число может быть взято или представлено только приближённо. Или я неправ?

Действительные числа вовсе не предназначены, чтобы ими как-то пользовались в реальной практике. Важно просто их существование, то есть полнота числовой прямой, тогда можно непротиворечиво ввести пределы.
Аналогично - есть мера Лебега, но никто ей впрямую не пользуется для измерения площадей, или чего-то в этом роде. Важно другое: существование.

anik в сообщении #511680 писал(а):

Мне кажется, что в определении бесконечно малой величины есть какя-то фальшивость или непонятка.

О каком определении вы говорите, привести можете?

[Joker_vD]

anik в сообщении #511680 писал(а):

Как Вы думаете, это недостаток тысяч людей которые "дозревают" или все-таки некоторый недостаток математики. Почему, чтобы понять о чём говорит математика нужно смотреть физику Сивухина?

Вы меня как-то превратно поняли... Вот вас осенило, что в природе нету бесконечно дробимых величин. "Значит," — думаете вы, — "нельзя использовать теорию непрерывных функций". Но это не так. Физикам задолго до вас такое тоже приходило в голову, и они разбирались, можно ли или нет — и получилось, что-таки можно.

anik в сообщении #511680 писал(а):

Мне кажется, что в определении бесконечно малой величины есть какя-то фальшивость или непонятка. Думаю я в этом не одинок.

Э? Величина $( x_n)$ называется бесконечно малой, если все ее достаточно далекие значения сколь угодно малы по модулю. Если же вы имеете в виду "физическую бесконечно малую величину", то...

Сивухин в "Общий курс физики", т. 1, пар. 6 писал(а):

Малые, но конечные приращения $\Delta x$ и $\Delta t$, отношение которых с достаточной точностью аппроксимирует производную $\dot x$, физик называет бесконечно малым или, полнее, физически бесконечно малыми величинами. Он обозначает их через $dx$ и $dt$ и обращается с ними как с математическими дифференциалами. Таким образом, в физике производная выступает как отношение конечных, но достаточно малых приращений функции и аргумента, а не как предел этого отношения.

[anik]

EEater в сообщении #511698 писал(а):

О каком определении вы говорите, привести можете?

О п р е д е л е н и е. Переменная величина $x$ стремится к нулю или есть бесконечно малая, если при любом заданном положительном числе $\varepsilon$ существует такое значение величины $x$, что для всех последующих значений выполнено неравенство $|x|<\varepsilon$.
Ввиду важности понятия бесконечно малой величины дадим другую формулировку того же определения.
О п р е д е л е н и е. Величина $x$ называется стремящейся к нулю или бесконечно малой, если $|x|$ при последовательном изменении $x$ делается и при дальнейшем изменении остаётся меньше любого наперёд заданного малого положительного числа $\varepsilon$.
Термином «бесконечно малая величина» мы обозначаем вышеописанный характер изменения переменной величины, и не надо смешивать понятия бесконечно малой величины, с часто употребляющимся в практике понятием очень малой величины.
Смирнов, "Курс высшей математики"
Вопрос: если в качестве $\varepsilon$ взять один парсек, то этого будет достаточно? Или в качестве $\varepsilon$ нужно брать всё меньшие и меньшие положительные числа, когда в этом процессе нужно остановиться? Похоже на парадокс Зенона?

[EvilPhysicist]

anik в сообщении #511680 писал(а):

Всё равно, абсолютной точности мы никогда не получим, даже в математике. Действительное число может быть взято или представлено только приближённо

Вы хотите сказать, что я, скажем, двойку не смогу представить точно? Например, как $2$? Или не смогу сказать, что $ x^2 $ при $x=0$ точно равно нулю?

anik в сообщении #511680 писал(а):

Мне кажется, что в определении бесконечно малой величины есть какя-то фальшивость или непонятка

Когда кажется надо креститься

anik в сообщении #511680 писал(а):

Думаю я в этом не одинок.

Можете быть уверены, вы в этом не одиноки. Есть ещё очень много людей, который плохо знают математику и думают точно так же.

anik в сообщении #511641 писал(а):

А Вы возьмите объём, содержащий в себе множество галактик и мысленно стягивайте этот объём в "точку", наблюдая при этом за средней плотностью. Будет ли она монотонно возрастать или убывать, либо стремиться к какому-либо пределу?

Как же это вы собираетесь определить плотность вещества на атомном уровне?

anik в сообщении #511623 писал(а):

Говорить о бесконечности в физике бессмысленно, т.к. нельзя объять необъятное.

Вау, вот это аргумент.

anik в сообщении #511623 писал(а):

А если исключить бесконечность и непрерывность из анализа, то сильно ли пострадает математика?

Да, это его убьёт.

anik в сообщении #511623 писал(а):

Может быть, нужно переосмыслить теорию пределов и исключить из неё определение бесконечно малых величин

То есть исключить из теории то, на чём она основана? Гениальная идея, сударь!

anik в сообщении #511623 писал(а):

Плотность чего мы узнаем: нейтрона или межатомной пустоты? А понятие температуры в точке вообще становится бессмысленным. Или мы привыкли говорить одно а подразумевать другое?

Вы получите расходящуюся последовательность. У неё нет предела, а значит и смысла у средней температуры и средней плотности на атомном уровне.

anik в сообщении #511623 писал(а):

Математики же, с упорством мухи, бьющейся об стекло, продолжают рассматривать бесконечности, несмотря на возникающие при этом парадоксы.

Какие именно парадоксы?

anik в сообщении #511623 писал(а):

Сколько бы нулевых длин (точек – действительных чисел) мы не складывали, мы никогда не получим конечную величину длины (отрезок на числовой оси)

И что?
Нет, конечно понятно, что вы неуклюже пытаетесь намекнуть на Риманов интеграл, но там рассматривается не сумма отрезков с нулевыми длинами, а предельное положение сумм, каждая из которых не нулевая. И это написано в любом мало-мальски хороше учебнике по анализу.

anik в сообщении #511723 писал(а):

О п р е д е л е н и е. Переменная величина $x$ стремится к нулю или есть бесконечно малая, если при любом заданном положительном числе $\varepsilon$ существует такое значение величины $x$, что для всех последующих значений выполнено неравенство $|x|<\varepsilon$.

ААААА!!! ОНО ЖЖОТСЯ КОГДА Я НА НЕГО СМОТРЮ!!!

Если серьёзно, но это просто бред сивой кобылы.
Есть определение бесконечно малой последовательности: последовательность $(x_n)_{n=1}^\infty $ называется бесконечно малой тогда и только тогда по определению $ \forall \varepsilon>0 \exists N(\varpesilon) \in \mathbb N : \forall n>N(\varepsilon) \Rightarrow \lvert x_n \rvert < \varpesilon$, а не тот бред сумашедшего, что вы изволили изобразить.

[anik]

Joker_vD в сообщении #511711 писал(а):

Сивухин в "Общий курс физики", т. 1, пар. 6 писал(а):
Малые, но конечные приращения $\Delta x$ и $\Delta t$ , отношение которых с достаточной точностью аппроксимирует производную , физик называет бесконечно малым или, полнее, физически бесконечно малыми величинами. Он обозначает их через $dx$ и $dt$ и обращается с ними как с математическими дифференциалами. Таким образом, в физике производная выступает как отношение конечных, но достаточно малых приращений функции и аргумента, а не как предел этого отношения.

Т.е. физики принимают малую величину за бесконечно малую, с которой её не надо путать, как сказано в "курсе высшей математики" Смирнова.
А $dx$ это линейная часть приращения функции, т.е. приращение той линейной функции, которая получится, если отбросить бесконечно малые второго и более высоких порядков малости от исходной функции, соответствующее $dt$.

[EEater]

anik в сообщении #511723 писал(а):

О п р е д е л е н и е. Переменная величина $x$ стремится к нулю или есть бесконечно малая, если при любом заданном положительном числе $\varepsilon$ существует такое значение величины $x$, что для всех последующих значений выполнено неравенство $|x|<\varepsilon$.

Отвратительное определение.
Из него не видно (можно лишь догадаться), что бесконечно малая величина это есть числовая последовательность, то есть функция целочисленного аргумента.

anik в сообщении #511723 писал(а):

Вопрос: если в качестве $\varepsilon$ взять один парсек, то этого будет достаточно? Или в качестве $\varepsilon$ нужно брать всё меньшие и меньшие положительные числа, когда в этом процессе нужно остановиться? Похоже на парадокс Зенона?

Ничего "брать" не нужно.
В определении имеется в виду: не может найтись такого (к примеру, очень малого) $\varepsilon$, чтобы члены хвоста последовательности не сделались еще меньше.

-- Пн дек 05, 2011 17:47:37 --

Кстати, Смирнов это зав. кафедрой высшей математики МАИ в то время, когда я там учился.