2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение04.12.2011, 23:13 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Dosaev
почитайте на досуге книжку Виленкина "Комбинаторика". Там все эти факты до мелочей описаны, причём с очень подробными доказательствами

-- Вс дек 04, 2011 23:14:46 --

Исходную задачу Вы поняли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение04.12.2011, 23:15 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Хорошо! Спасибо вам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение04.12.2011, 23:16 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Всегда пожалуйста

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение04.12.2011, 23:35 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Я сравнил ваше первое сообщение в этой теме и последнее на первой странице, все логично. Вроде ясно, но я бы не догался до такого. Спасибо еще раз, я вижу, у вас есть преподавательский талант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение05.12.2011, 01:01 


26/08/11
2100
А если примем для удобства и наглядности, что $p(a,b)$ - произведение все натуральных чисел от a до b и запишем ваше выражение в виде:

$\dfrac{p(1,k)}{k!.1}.\dfrac{p(k+1,2k)}{k!.2}.\dfrac{p(2k+1,3k)}{k!.3}...\dfrac{p(nk-k+1,kn)}{k!.n}$
увидем, что в числителях произведение k последовательных натуральных чисел, что делится на k!, причем последние множители числителей и знаменателей прекрасно сокрощаются, так что

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение05.12.2011, 08:44 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Dosaev в сообщении #511516 писал(а):
Я сравнил ваше первое сообщение в этой теме и последнее на первой странице, все логично. Вроде ясно, но я бы не догался до такого. Спасибо еще раз, я вижу, у вас есть преподавательский талант.

Спасибо! Рад слышать такое :D
Удивительно, но я никогда нигде и никому не преподавал :D

-- Пн дек 05, 2011 08:51:46 --

Shadow Вы предложили очень красивое решение.
Но у меня один такой вопрос.
А почему произведение $k$ последовательных натуральных чисел делится на $k!$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение05.12.2011, 09:34 


26/08/11
2100
Whitaker в сообщении #511570 писал(а):
А почему произведение k последовательных натуральных чисел делится на k!
:-) Eсли по честному доказывать надо, то задача не совсем тривиальная. A когда мне надо вычислить $C_{20}^{4}$ например, пишу $\frac {20.19.18.17}{1.2.3.4}$
А в задаче ТС тут еще и на 5 поделить надо

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение05.12.2011, 09:41 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Shadow в сообщении #511585 писал(а):
Whitaker в сообщении #511570 писал(а):
А почему произведение k последовательных натуральных чисел делится на k!
:-) Eсли по честному доказывать надо, то задача не совсем тривиальная. A когда мне надо вычислить $C_{20}^{4}$ например, пишу $\frac {20.19.18.17}{1.2.3.4}$
А в задаче ТС тут еще и на 5 поделить надо

Вы наверное имеете ввиду следующее:
Покажем, что $(2k+1)(2k+2)...(3k-1)3k$ делится на $k!$. Дробь $\dfrac{(2k+1)(2k+2)...(3k-1)3k}{k!}$ можно написать как $C_{3k}^{k}$, а последнее есть не что иное, как число сочетаний из $3k$ элементов по $k$ и оно является целым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение05.12.2011, 10:08 


26/08/11
2100
Да, но так как в формуле знаменатель k!.3, я посовететовал бы сначала сократить 3k в числителе и знаменателе и тогда уже записать $C_{3k-1}^{k-1}$.

(Оффтоп)

Когда я сказал, что доказательство не совсем тривиальное, имел в виду без изпользования знаний по комбинаторике. Когда то в школе решал задачу: Доказать что (один полином 5-ой степени) всегда делится на 120. Он разлагался на множители $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$. И приходилось доказывать что делится на 5,3 и 8. Что то такое имел ввиду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение05.12.2011, 14:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9061
Конечно, решение Shadow самое простое, однако можно было бы, как выше уже советовали, дать решение в теоретико-числовом духе, т.е. банально подсчитать показатели, с которыми произвольное простое $p$ входит в числитель и знаменатель дроби $\frac{(kn)!}{(k!)^nn!}$. Это было бы несложным тренировочным упражнением на умение пользоваться формулой Лежандра.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на доказательство. Комбинаторика.
Сообщение08.12.2011, 19:12 


19/08/11
92
ИСН в сообщении #511444 писал(а):
По-моему, можно забить на шары и тупо смотреть порядок вхождения каждого простого p сверху и снизу.

Ну, слава Богу! А то я, пока не дочитал до этого сообщения, уже стал бояться, что так и застрянет обсуждение на "научить плохому".
____________________________________________________
Читаю дальше - зря я обрадовался. Голос разума (в данном случае сообщение ИСН) благополучно не замечено. Танцуют все! По кругу.

Господа! Это все же как бы математика - ну, нельзя же так грубо топтать порочный круг.
__________________________________________________
Нет - все же до честного доказательства докатились. Это хорошо - есть правда в этом мире.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group