Задача на доказательство. Комбинаторика.

[Whitaker]

Dosaev
почитайте на досуге книжку Виленкина "Комбинаторика". Там все эти факты до мелочей описаны, причём с очень подробными доказательствами

-- Вс дек 04, 2011 23:14:46 --

Исходную задачу Вы поняли?

[Dosaev]

Хорошо! Спасибо вам!

[Whitaker]

Всегда пожалуйста

[Dosaev]

Я сравнил ваше первое сообщение в этой теме и последнее на первой странице, все логично. Вроде ясно, но я бы не догался до такого. Спасибо еще раз, я вижу, у вас есть преподавательский талант.

[Shadow]

А если примем для удобства и наглядности, что $p(a,b)$ - произведение все натуральных чисел от a до b и запишем ваше выражение в виде:

$\dfrac{p(1,k)}{k!.1}.\dfrac{p(k+1,2k)}{k!.2}.\dfrac{p(2k+1,3k)}{k!.3}...\dfrac{p(nk-k+1,kn)}{k!.n}$
увидем, что в числителях произведение k последовательных натуральных чисел, что делится на k!, причем последние множители числителей и знаменателей прекрасно сокрощаются, так что

[Whitaker]

Dosaev в сообщении #511516 писал(а):

Я сравнил ваше первое сообщение в этой теме и последнее на первой странице, все логично. Вроде ясно, но я бы не догался до такого. Спасибо еще раз, я вижу, у вас есть преподавательский талант.

Спасибо! Рад слышать такое
Удивительно, но я никогда нигде и никому не преподавал

-- Пн дек 05, 2011 08:51:46 --

Shadow Вы предложили очень красивое решение.
Но у меня один такой вопрос.
А почему произведение $k$ последовательных натуральных чисел делится на $k!$ ?

[Shadow]

Whitaker в сообщении #511570 писал(а):

А почему произведение k последовательных натуральных чисел делится на k!

Eсли по честному доказывать надо, то задача не совсем тривиальная. A когда мне надо вычислить $C_{20}^{4}$ например, пишу $\frac {20.19.18.17}{1.2.3.4}$
А в задаче ТС тут еще и на 5 поделить надо

[Whitaker]

Shadow в сообщении #511585 писал(а):

Whitaker в сообщении #511570 писал(а):

А почему произведение k последовательных натуральных чисел делится на k!

Eсли по честному доказывать надо, то задача не совсем тривиальная. A когда мне надо вычислить $C_{20}^{4}$ например, пишу $\frac {20.19.18.17}{1.2.3.4}$
А в задаче ТС тут еще и на 5 поделить надо

Вы наверное имеете ввиду следующее:
Покажем, что $(2k+1)(2k+2)...(3k-1)3k$ делится на $k!$. Дробь $\dfrac{(2k+1)(2k+2)...(3k-1)3k}{k!}$ можно написать как $C_{3k}^{k}$, а последнее есть не что иное, как число сочетаний из $3k$ элементов по $k$ и оно является целым.

[Shadow]

Да, но так как в формуле знаменатель k!.3, я посовететовал бы сначала сократить 3k в числителе и знаменателе и тогда уже записать $C_{3k-1}^{k-1}$.

(Оффтоп)

Когда я сказал, что доказательство не совсем тривиальное, имел в виду без изпользования знаний по комбинаторике. Когда то в школе решал задачу: Доказать что (один полином 5-ой степени) всегда делится на 120. Он разлагался на множители $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$. И приходилось доказывать что делится на 5,3 и 8. Что то такое имел ввиду.

[nnosipov]

Конечно, решение Shadow самое простое, однако можно было бы, как выше уже советовали, дать решение в теоретико-числовом духе, т.е. банально подсчитать показатели, с которыми произвольное простое $p$ входит в числитель и знаменатель дроби $\frac{(kn)!}{(k!)^nn!}$. Это было бы несложным тренировочным упражнением на умение пользоваться формулой Лежандра.

[Sefko]

ИСН в сообщении #511444 писал(а):

По-моему, можно забить на шары и тупо смотреть порядок вхождения каждого простого p сверху и снизу.

Ну, слава Богу! А то я, пока не дочитал до этого сообщения, уже стал бояться, что так и застрянет обсуждение на "научить плохому".
____________________________________________________
Читаю дальше - зря я обрадовался. Голос разума (в данном случае сообщение ИСН) благополучно не замечено. Танцуют все! По кругу.

Господа! Это все же как бы математика - ну, нельзя же так грубо топтать порочный круг.
__________________________________________________
Нет - все же до честного доказательства докатились. Это хорошо - есть правда в этом мире.