Нетривиальный предел

[mr.tumkan]

$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(x+1)(x^2+1)...(x^n+1)}{\big[(nx)^n+1\big]^{\frac{n+1}{2}}}$$

Есть идея домножить на $(x-1)$ чтобы числитель удобно свернулся

$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(x-1)(x+1)(x^2+1)...(x^n+1)}{(x-1)\big[(nx)^n+1\big]^{\frac{n+1}{2}}}$$

$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(x^{2n}-1)}{(x-1)\big[(nx)^n+1\big]^{\frac{n+1}{2}}}$$

А дальше как? Правило Лопиталя или есть альтернативы попроще?!

[kiyanyn]

Что-то сомнителен мне этот переход

$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^3+1)\ldots (x^n+1)$ по-моему не равен $x^{2n}-1$...


А сам предел навскидку - $1 \over n^{n(n+1)\over 2}$. Кажется, так...

[mr.tumkan]

kiyanyn в сообщении #510895 писал(а):

Что-то сомнителен мне этот переход

$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^3+1)\ldots (x^n+1)$ по-моему не равен $x^{2n}-1$...

Спасибо!
Действительно, сомнителен, а как тогда быть? С чего начать?

$$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^3+1)\ldots (x^n+1)=(x^2-1)(x^2+1)(x^3+1)\ldots (x^n+1)= $$

$$=(x^2-1)(x^2+1)(x^3+1)\ldots (x^n+1)=(x^4-1)(x^3+1)(x^4+1)(x^5+1)\ldots (x^n+1)$$

[xmaister]

Получается, что равен $\frac1{n^{\frac{n(n+1)}{2}}}$

UPD: опередили

[mr.tumkan]

xmaister в сообщении #510903 писал(а):

Получается, что равен $\frac1{n^{\frac{n(n+1)}{2}}}$

UPD: опередили

А как вы так посчитали?! С чего начать и чем закончить?!

[kiyanyn]

Гм, я как бы нестрогий математик , не то образование, так что я так, по рабоче-крестьянскому - при $x\to\infty$ во всех этих скобках можно 1 нафиг посылать, будет просто $x^{1+2+\ldots+n} = x^{n(n+1)\over 2}$, внизу точно так же $(nx)^{n(n+1)\over 2}$, а уж строгости доказательства - это к специалистам...

[xmaister]

То что в числителе равно $x^{\frac{n(n+1)}{2}}+o\left(x^{\frac{n(n+1)}{2}}\right)$ Далее пользуйтесь определением о-малого и целой части.

[mr.tumkan]

kiyanyn в сообщении #510906 писал(а):

Гм, я как бы нестрогий математик , не то образование, так что я так, по рабоче-крестьянскому - при $x\to\infty$ во всех этих скобках можно 1 нафиг посылать, будет просто $x^{1+2+\ldots+n} = x^{n(n+1)\over 2}$, внизу точно так же $(nx)^{n(n+1)\over 2}$, а уж строгости доказательства - это к специалистам...

Спасибо!

xmaister в сообщении #510907 писал(а):

То что в числителе равно $x^{\frac{n(n+1)}{2}}+o\left(x^{\frac{n(n+1)}{2}}\right)$ Далее пользуйтесь определением о-малого и целой части.

Спасибо, что-то как-то сложно получается. Можно ли без о-малого и целой части?!

[xmaister]

Что сложного? $x=[x]+\{x\}$. Делите числитель и знаменатель на $x^{\frac{n(n+1)}{2}}$

mr.tumkan в сообщении #510910 писал(а):

Можно ли без о-малого и целой части?!

У Вас же предел с целой частью.

[mr.tumkan]

Спасибо! Поделил, получилось вот что!!!!

$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(1/x+1)(1/x^2+1)...(1/x^n+1)}{\big[n^n+1/x^n\big]^{\frac{n+1}{2}}}$$

-- 02.12.2011, 18:21 --

Теперь все понятно, спасибо!

[mr.tumkan]

Справедливо ли такое равенство?

$\dfrac{[n\cdot x]}{x}=n$

$x\in R$

$n\in N$

P.S. Мне кажется -- что нет.

[Someone]

А там точно "целая часть", а не просто квадратные скобки для разнообразия?

[mr.tumkan]

Someone в сообщении #510971 писал(а):

А там точно "целая часть", а не просто квадратные скобки для разнообразия?

Не знаю -- что имел ввиду Демидович в 417 примере своего сборника...

[coll3ctor]

mr.tumkan в сообщении #510892 писал(а):

$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(x+1)(x^2+1)...(x^n+1)}{\big[(nx)^n+1\big]^{\frac{n+1}{2}}}$$

Я думаю вам нужно сравнить степени полиномов в числителе и знаменателе и всё сразу станет ясно...

[mr.tumkan]

coll3ctor в сообщении #511081 писал(а):

Я думаю вам нужно сравнить степени полиномов в числителе и знаменателе и всё сразу станет ясно...

Это уже стало ясно -- остался лишь один вопрос.

В знаменателе -- подразумевается целая часть или нет?