Матрица плотности для осциллятора.

[longstreet]

Задача (из Ландау): определить координатную матрицу плотности гармонического осциллятора.

Как эта задача связана с такой (из лекции): определить среднюю потенциальную и среднюю кинетическую энергию гармонического осциллятора?

-- 01.12.2011, 09:28 --

Я так понял, что если у нас есть матрица (оператор) плотности, то мы все средние величины, в том числе потенциальную и кинетическую энергии можем посчитать. Как это сделать?

[Ilia_]

$\overline A=\operatorname{Sp} \hat A\hat\rho$, разве нет?

[longstreet]

Не знаю. Не понял что Вы написали
$A$ из нормировки же, нет? Тогда зачем среднее?

Это задача к §30 том 5 ЛЛ.
Координатная матрица плотности $\rho(q,q')$ гармонического осциллятора там приведена (это ответ к первой формировке задачи). Как, зная её, найти среднюю потенциальную энергию и среднюю кинетичскю энергию этого осциллятора (то, что спрашивается во второй формулировке - это задача из лекции)?

[Himfizik]

longstreet в сообщении #510386 писал(а):

Не понял что Вы написали

А формулы (14.3) и (14.4) третьего тома ЛЛ, что Вам говорят?

[longstreet]

14.3 и 14.4 ещё не посмотрел, спасибо, посмотрю в течение часа обязательно.

Но я понял формулу, которую написал Ilia_.
Итак, мы можем найти среднее значение любой наблюдаемой A (в частности, для потенциальной энергии и для кинетической энергии) для состояния, заданного матрицей плотности ρ.
А именно, это будет след произведения операторов A и ρ.
Да? Круто!!!

-- 01.12.2011, 20:26 --

У меня есть $\rho$, откуда взять оператор потенциальной энергии и оператор кинетической энергии? Подскажите, пожалуйста.

А операторы перемножаются как функции или как матрицы?

А след и шпур — это одно и то же, да?

[Ilia_]

longstreet в сообщении #510556 писал(а):

У меня есть $\rho$, откуда взять оператор потенциальной энергии и оператор кинетической энергии? Подскажите, пожалуйста.

А операторы перемножаются как функции или как матрицы?

А след и шпур — это одно и то же, да?

Операторы перемножаются как операторы. Явный вид операторов потенциальной и кинетической энергии зависит от того, в каком представлении вы работаете. В координатном представлении, например,

$$\hat T=\frac{\hat p^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$$

$$\hat U=U(x)$$

След и шпур - это одно и то же. Конкретный способ его вычисления зависит от представления.

[longstreet]

Ilia_, спасибо большое!
Мне дана координатная матрица плотности (это ответ задачи к §30 тома 5). Это значит, что представление имеется в виду координатное, правильно?
Выбирается же между координатным и импульсном, да?

Формула, которую Вы привели отличается от той, что я виду в ЛЛ, том 3 формула 14.4. Там интеграл. Это два способа вычисления, или две записи одного?

[Ilia_]

Шпур в координатном представлении как раз и сводится к интегралу.

[longstreet]

Извините, что не привёл формулу (14.4) сразу:

$$\overline{f}=\int\left[\hat f\rho\left(x,x'\right)\right]_{x'=x}dx$$

-- 01.12.2011, 21:44 --

ой, сейчас исправлюсь быстро

-- 01.12.2011, 21:46 --

исправил :)

[Ilia_]

Да, шпур в координатном представлении считается именно так. Теперь подставьте вместо $\hat f$ операторы $\hat T$ и $\hat U$ для вашей конкретной задачи и возьмите интеграл. Получите средние значения потенциальной и кинетической энергии.

[longstreet]

Итак, задача нахождения средней кинетической энергии осциллятора свелась к нахождению интеграла

$$\overline{E}_{\text{кин}}=\int\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\bigtriangleup\left(\frac{\omega}{\pi \hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\left)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\omega\left(q+q'\right)^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)\right]_{q'=q}dq$$

[Ilia_]

Касательно оформления. Вместо $exp$ следует использовать $\exp$. [здесь был абзац замечаний, но всё остальное оказалось уже исправлено].

Интеграл сводится к интегралу Гауссова типа ($\int\exp(-x^2)\,dx$) и берётся без проблем.

[longstreet]

Сейчас по шагам.

$$\overline{E}_{\text{кин}}=\int\left[\hat{E}_{\text{кин}}\rho\left(q,q'\right)\right]_{q=q'}dq$$

-- 01.12.2011, 22:33 --

Ilia_, спасибо большое!!! Извините что переисправляю много – пишу с телефона :)

-- 01.12.2011, 22:45 --

Далее.

$$\hat{E}_{\text{кин}}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle=$$

Чтобы дивергенцию расписать тут, как правильно? То, что координата одна – понятно. А на что дивергенция действует? На $-\frac{\hbar^2}{2m}$?

-- 01.12.2011, 22:47 --

Следующий шаг. Координатная матрица дана:

$$\rho(q,q')=\left(\frac{\omega}{\pi\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}\right)^{1/2}\exp\left(-\frac{\omega(q+q')^2}{4\hbar}\tanh\frac{\hbar\omega}{2T}-\frac{\omega(q-q')^2}{4\hbar}\coth\frac{\hbar\omega}{2T}\right)$$

-- 01.12.2011, 23:04 --

Чтобы мне двигаться, помогите с градиентом, пожалуйста.

-- 01.12.2011, 23:06 --

В общем, я понял как всё подставлять. Но чтобы считать конкретно интеграл нужно разобраться с $\triangle$.

-- 01.12.2011, 23:09 --

(Оффтоп)

я конечно уже в нескольких местах прочитал что должно получится $\frac{1}{2}kT$. Интересно как интеграл весь свернётся!

-- 01.12.2011, 23:15 --

Ой, ну а как вообще быть со средней потенциальной энергией, ведь если я подставлю $\hat U =U(q)$, то ничего не свернётся, это $U(q)$ никуда не может же деться. Его нужно как-то расписать? Или как-то подставить именно для случая осциллятора (линейного)? Как расписать?

-- 01.12.2011, 23:29 --

Ооой, это же оператор Лапласа

$$\triangle=\frac{\partial^2}{\partial^2q}$$

Но к чему его применять?

[longstreet]

Логичнее всего, конечно, так

$$\overline E_{\text{кин}}=\int\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial q^2}\left[\rho(q,q')\right]\right]_{q=q'}dq$$

Правильно?

-- 02.12.2011, 00:22 --

Ещё вопрос. След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы. Интеграл это тоже сумма. Но интеграл неопределённый у нас. Как такая простая вещь, как сумма элементов матрицы, стоящих на её главной диагонали перешла в интеграл? Удивительное рядом.

[Ilia_]

Интеграл у нас от $-\infty$ до $+\infty$ в одномерном случае. Оператор Лапласа действительно действует на $\rho(q,q\prime)$ по $q$. Важно! Сначала нужно подействовать, и лишь потом положить $q=q\prime$. Потенциальная энергия просто домножается. И, естественно, это потенциальная энергия осциллятора в данном случае.

Как след матрицы превратился в интеграл по $q$ при $q=q\prime$? Считайте, что $q,\ q\prime$ - индексы матрицы $\rho$, меняющиеся непрерывным образом. Тут есть ещё пара тонкостей математического характера, но на интуитивном уровне, вроде бы понятно.