Решить дифференциальное уравнения в виде степенного ряда

[MihanEntalpo]

Здравствуйте, товарищи. Стараюсь по возможности никогда не просить о помощи, но на этот раз уже сломал себе голову над решением.
Казалось бы задача простая, но я просто видимо как-то не так понял метод ее решения.

Задание: Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

Уравнение: $x^2\cdot y''-x \cdot y' + y = 2 \cdot x, y(1)=0, y'(1)=1$

Как я его решаю:

(использовал для решения метод отсюда: http://mtklub.ru/lad3/lec29.htm, это практические единственное вменяемое решение найденное в интернете)

1. Пусть $y(x)=\alpha_0 + \alpha_1 \cdot x + \alpha_2 \cdot x^2 + \alpha_3 \cdot x^3 + \alpha_4 \cdot x^4 + ... + \alpha_n \cdot x^n$

Для решения возьмем 5 членов последовательности, т.е. вплоть до $\alpha_4$ (уже не помню почему я выбрал именно 5, по требуемой точности никаких указаний не было)

2. Найдем производные:
$y'(x)=\alpha_1 + 2 \cdot \alpha_2 \cdot x + 3 \cdot \alpha_3 \cdot x^2 + 4 \cdot \alpha_4 \cdot x^3$
$y''(x)=2 \cdot \alpha_2 + 6 \cdot \alpha_3 \cdot x + 12 \cdot \alpha_4 \cdot x^2$

3. Подставим предполагаемое решение и его производные в исходное уравнение, получится:

$x^2 \cdot (2 \cdot \alpha_2 + 6 \cdot \alpha_3 \cdot x + 12 \cdot \alpha_4 \cdot x^2) -x \cdot (\alpha_1 + 2 \cdot \alpha_2 \cdot x + 3 \cdot \alpha_3 \cdot x^2 + 4 \cdot \alpha_4 \cdot x^3) + \alpha_0 + \alpha_1 \cdot x + \alpha_2 \cdot x^2 + \alpha_3 \cdot x^3 + \alpha_4 \cdot x^4 =2 \cdot x $

4. Вынесем за скобки переменную X в разных степенях, и получим:
$x^0 \cdot (\alpha_0) + x^1 \cdot (-\alpha_1 + \alpha_1 -2) + x^2 \cdot (2 \alpha_2 - 2 \alpha_2 + \alpha_2) +x^3 \cdot (3\alpha_3-3\alpha_3+\alpha_3)+x^4 \cdot (4\alpha_4 - 4\alpha_4 + \alpha_4)$

Здесь видно что все константы получатся равны нулю, а в первых скобках еще и 2=0. Отсюда делаем вывод что что-то в моем решении неверно.
Пробовал решать исходя из того, что $p(x)=1/x, q(x)=1/x^2 и f(x)=2/x$ можно разложить в степенные ряды, и домножить эти ряды на ряды полученные при гипотетическом разложении y(x), но рабочего примера не нашел, а нерабочий делается исходя из того, что y(0)=Const, y'(0)=Const, тогда как мои исходные данные - это y(1) и y'(1) - в результате я не понимаю как привязать к решению мое условие.

Буду благодарен хотя-бы за ссылку на какую-нибудь хорошую книгу где точно есть примеры решения данного типа задач, так как мои 3 бумажных учебника по высшей математике располагают только поверхностными сведениями по данному вопросу.

Спасибо за уделенное внимание.

[V.V.]

Поскольку коэффициент при старшей производной ($y''$) в нуле равен нулю, надо пользоваться другим методом. Он называется метод Фробениуса.

[MihanEntalpo]

Спасибо за ответ.
Тогда возникает такой вопрос: что если разделить все уравнение на $x^2$, после чего получится:
$y''-y' \cdot \frac {1} {x} + y \cdot \frac {1} {x^2} = \frac {2} {x} $
Можно ли считать что это - уравнение в котором нет никакого коэффициента при старшей производной, равного нулю в нуле?
И не меняется ли тогда способ решения?

-----------------------

Также, уточню, что данное задание входит в курс высшей математики студентов строительного ВУЗа, где применение очень уж сложных методик маловероятно.
Одним глазом взглянув на информацию по методу Фробениуса в поиске - я был введен в глубокие раздумья

AKM:

MihanEntalpo,

чисто оформительское: ставить эти утомительные знаки умножения типа $2\cdot x$ вместо простого $2x$, по-моему, совершенно ни к чему. Во всех учебниках обходятся $2x$, и это вполне привычно. Ну, с дробями это иногда уместно, равно как и в случае $2\cdot2=4$

[lyuk]

разложите решение по степеням $t=x-1$

[V.V.]

lyuk в сообщении #509347 писал(а):

разложите решение по степеням $t=x-1$

Ой, да! Не заметил, что условия в единице. :(