Одномерная динамика

[scwec]

$F(x)=\frac{4x\sqrt{1-x^2}}{1+4x^2-4x^4}$ отображает отрезок $[0,1]$ на себя.
Рассмотрим бесконечную последовательность чисел $x_0,x_1,x_2,....$ такую, что $0<x_0<1$,
$x_0$ и $\sqrt{1-{x_0}^2}$ - рациональные числа, $x_{n+1}=F(x_n)$.
Докажите, что все числа в этой последовательности различны.

[Yu_K]

Понятно, что интересуют только рациональные числа (судя по Вашим задачам, которые были здесь раньше). Может здесь и более общее утверждение справедливо - для всех действительных чисел не будет повторов по аналогии с логистическим отображением. А вот если уменьшить константу в числителе, то возможно появятся циклы.

[sergei1961]

монотонности здесь нет?

[nnosipov]

Напоминает процедуру удвоения точек на эллиптической кривой. Если так, то подобные утверждения доказываются не слишком сложно (знаменатели дробей постоянно растут и поэтому все дроби оказываются попарно различными).

-- Вс ноя 27, 2011 13:19:23 --

sergei1961 в сообщении #508685 писал(а):

монотонности здесь нет?

Это вряд ли.

[sergei1961]

знаменатели растут-наверное, они ещё должны с числителями не сокращаться, чтобы уверждать, что все разные?

[scwec]

Yu_K, не рекомендую делать выводы относительно действительных чисел. Неповторяемость чисел определяется выбором начальных условий. При другом их выборе моментально могут появиться периодические траектории без всякой смены константы в числителе.
nnosipov, знаменатели растут, и связь с удвоениями проглядывается, но этого не достаточно для доказательства, а оно, действительно, не такое уж сложное. Мыслите, как всегда, в правильном направлении.
Монотонности, конечно, нет. Одной. Но есть две. Это моя подсказка.

[nnosipov]

Покажем, что знаменатель дроби $x_{k+1}$ больше знаменателя дроби $x_k$ (имеются в виду несократимые представления дробей). Поскольку $\sqrt{1-x_k^2}$ --- рациональное число (это можно доказать по индукции, пользуясь тем, что $1-F(x)^2=(\ldots)^2$), имеем $x_k=2mn/(m^2+n^2)$ либо $x_k=(m^2-n^2)/(m^2+n^2)$ для некоторых натуральных взаимно простых чисел $m$, $n$ разной чётности. Далее рассматриваем первый случай (второй рассматривается аналогично, надеюсь). Тогда

$$ x_{k+1}=F(x_k)={\frac {8 \left( {m}^{2}+{n}^{2} \right) ^{2} \left( m-n \right) \left( m+n \right) mn}{{m}^{8}+20\,{m}^{6}{n}^{2}-26\,{m}^{4}{n}^{4}+ 20\,{m}^{2}{n}^{6}+{n}^{8}}}. $$

Нетрудно показать, что числитель и знаменатель последней дроби взаимно просты. Кроме того, знаменатель равен $C(m^2+n^2)^4$, где $1 \leqslant C \leqslant 2$. То есть больше, чем $m^2+n^2$, а это знаменатель $x_k$.

scwec, а что за монотонности Вы упоминали?

[Yu_K]

scwec
Фейгенбаум как раз и показал зависимость именно от коэффициента в выражении для функции. Классическая картинка ниже. Справа логистическое отображение - слева Ваше для разных коэффициентов и зависимости от начальных значений там особо нет, если отбросить начальный участок последовательности - либо стохастика - либо периодичность. По оси х отложен параметр $A$, и для этого параметра отображено некоторое количество точек последовательности $x_k$. Вначале при малых А последовательность имеет одну стационарную точку, потом появляется с ростом А цикл длины 2, потом циклы длины 4 и 8 - а потом наступает хаос с перемежаемостью с циклами длины 4 и 8.


Удвоение периода и стохастика полностью идентичны для любых нелинейных отображений подобного вида. Понятно, что присутствуют нюансы с округлением и точностью вычислений - для логистического отображения с рациональными начальными данными сохраняется и рациональность последовательности и числитель и знаменатель растут очень быстро. Но если на ветках слева найдутся рациональные точки, то и найдется периодическое решение с рациональными значениями - периода 2 или 4 или 8.

[scwec]

Решение nnosipov - то,что надо. Что касается двух монотонностей, то ведь и числители и знаменатели растут. Поскольку они каждый раз взаимно просты, отсюда и отсутствие повторений.
Что касается эффекта Фейгенбаума. Помогут ли кассические картинки ответить на такой вопрос: обязательно ли стохастичны траектории для заданной вначале функции с начальными условиями нашей задачи? Наверное, да. Или это нужно доказывать?

[nnosipov]

Yu_K в сообщении #508860 писал(а):

Но если на ветках слева найдутся рациональные точки, то и найдется периодическое решение с рациональными значениями - периода 2 или 4 или 8.

Можете привести пример? По-моему, это противоречит задаче scwec.

[Yu_K]

Немного разные задачи.
Для логистического отображения
$x_{k+1}=ax_k(1-x_k)$
при $a=2$ и $x_0=1/2$ все $x_k=1/2$.

Для циклов периода 2 имеем уравнение
$x=a^2x(1-x)(1-ax(1-x))$ - но здесь кроме $a=3$ нет рациональных точек - а эта точка вырожденная и не дает цикла длины 2.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3Da*a*x%281-x%29%281-a*x%281-x%29%29.http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E2-2a-3%3Dk%5E2 - дискриминант всегда иррациональное число в интересующей нас области.
Для циклов периода 4 имеем уравнение
$x=a^3x(1-x)(1-ax(1-x))(1-a^2x(1-x)(1-ax(1-x)))$ - но здесь похоже тоже нет рациональных точек.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3Da*a*a*x%281-x%29%281-a*x%281-x%29%29%281-a*a*x%281-x%29%281-a*x%281-x%29%29%29

А вариант отображения топикстартера надо смотреть аналогичным образом.
То есть решать такие уравнения
$x=f(x)$
$x=f(f(x))$
$x=f(f(f(f(x))))$ - а там несократимые дроби в случае коэффициента равного 4 - значит там решений нет в целых числах. Может есть рациональные точки при меньших значениях коэффициента. По крайней мере при меньших значениях коэффициента точно есть иррациональные периодические решения с периодом 2,4,8 - что видно из картинок.

[Yu_K]

Немного напутал - там же надо рациональные значения корней смотреть, а не целые.
Тогда вот пример цикла длины 2 для логистического отображения.
$a=7/2$
$x_{2k}=3/7$, $x_{2k+1}=6/7$, $k=0,1,2...$
и для этого значения $a$ есть стационарная точка
$x_{k}=5/7$, $k=0,1,2...$.

Судя по расчетной картинке для отображения топикстартера при значениях A примерно от 3.92 до 3.95 есть циклы длины 4 (я когда считал в знаменателе тоже заменил 4 на A). При больших значениях A что-то гарантировать наверное сложно - будут ли там внутри области стохастики циклы длины 4 или 8 я не знаю. Есть расчетные данные для показатели Ляпунова для подобных отображений - и утверждается, что при превышении некоторого предельного значения этого показателя все становится хаотично. http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html - может здесь какие-нибудь ссылки есть.

[scwec]

Мы немного отклонились от темы, хотя доказательство первоначального утверждения успешно проведено. Его достаточно, чтобы двинуться дальше.
Но раз уж уклонились, то я повторю вопрос из предыдущего своего сообщения в подробной формулировке. Таким образом, нас интересует конкретная функция с конкретными начальными условиями.
Верно ли, что точки $x_0,x_1,x_2......$ при условии, что $0<x_0<1$, $x_0,\sqrt{1-x^2}$ -рациональные числа, $x_{n+1}=F(x_n)$, где $F(x)=\frac{4x\sqrt{1-x^2}}{1+4x^2-4x^4}$ всюду плотно заполняют отрезок $[0,1]$? Желательно доказательство или ссылка на него.
Что-то вроде: для таких-то функций любая траектория либо периодическая, либо эргодическая.

[nnosipov]

Вот пример доказательства того, что рациональные точки конкретной эллиптической кривой образуют всюду плотное множество: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/lo ... MDLOG_0017

[scwec]

nnosipov, очень интересный материал. Он, конечно, не дает прямой ответ на сформулированный вопрос. Мы ведь пока об эллиптических кривых конкретно не говорили. Да и разобраться поподробней с ним не мешало бы. В любом случае, большое спасибо.
Однако, мой вопрос не снимается. Именно в том виде, как он сформулирован.