Срочно надо решить уравнению

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #508716 писал(а):

Я согласен, что есть изящное радикальное представление.

Нет, не в радикалах дело, тем более, что они будут не вещественны. Ну как, заинтригованы?

[Klad33]

Это меня не удивило, поскольку Maple мне как раз и выдало комплексное решение. Я потратил некоторое время, чтобы побороть эту закомплексованность. Но посмотреть хотел бы, если ответ короче, чем я видел.
На самом деле корни вещественные, но мнимая составляющая в пределе обнуляется.

[Klad33]

В одном из форумов объяснили, что данное уравнение - это неприводимый случай и решение невозможно через радикалы. Так что мое тригонометрическое решение - самое верное. А комплексное решение - это обманка.

[nnosipov]

Klad33, Ваши арктангенсы, порубленные на три части, хотя и верны, но выглядят довольно вульгарно. А мои (не буду говорить кто) --- очень, очень элегантно

[Klad33]

Я арктангенсы не рубил, а просто жалел бума поле монитора.
Да покажите же Вашу элегантность! А потом, желательно, - и численное выражение с хорошей точностью.

[nnosipov]

Выше я уже намекал на циклотомические поля, вот именно там эти элегантности и произрастают. Ну да ладно, нарву Вам букетик: $6\cos{\pi/7}-1$, $6\cos{3\pi/7}-1$ и $6\cos{5\pi/7}-1$.

[Klad33]

Все, как я и предполагал: эти корни априори задавались и выводилось соответстующее кубическое уравнение. Это выдает ряд коэффициентов 1, 3, 5.
А уж обратных решений можно получать несколько. Например, мой верный результат. Но согласитесь, решать обратные задачи, порой, в сотни раз сложнее.

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #508888 писал(а):

Но согласитесь, решать обратные задачи, порой, в сотни раз сложнее.

В данном случае нет: Maple разложит $x^3-21x+7$ на множители над полем $\mathbb{Q}(\zeta)$, где $\zeta^7=1$, за считанные миллисекунды.

[Klad33]

Я о другом. Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

[Joker_vD]

Klad33 в сообщении #508905 писал(а):

Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=0$, где в качестве $a_i$ берем пушистые и опрятные числа, а потом раскрываем скобки.

[nnosipov]

Klad33 в сообщении #508905 писал(а):

Я о другом. Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

И в чём-то нетривиальные, а само уравнение имело бы при этом ещё и целые коэффициенты. Скажем, если корни --- это косинусы дробных долей числа $\pi$, то здесь выбор не слишком большой.

[Klad33]

Joker_vD в сообщении #508908 писал(а):

Klad33 в сообщении #508905 писал(а):

Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=0$, где в качестве $a_i$ берем пушистые и опрятные числа, а потом раскрываем скобки.

Я как раз об этом. Тот, кто составляет такие уравнения и кто решает, находятся не в равных условиях, поскольку возможны хоть и верные, но не пушистые корешочки.

[Joker_vD]

nnosipov в сообщении #508913 писал(а):

И в чём-то нетривиальные, а само уравнение имело бы при этом ещё и целые коэффициенты. Скажем, если корни --- это косинусы дробных долей числа $\pi$, то здесь выбор не слишком большой.

Ну да, тут только и остается, что на единичную окружность любоваться.

[nnosipov]

Joker_vD в сообщении #508924 писал(а):

Ну да, тут только и остается, что на единичную окружность любоваться.

Я имел в виду следующее: $[\mathbb{Q}(\cos{2\pi/m}):\mathbb{Q}]=\varphi(m)/2=3$ тогда и только тогда, когда $m \in \{7,9,14,18\}$.

[Klad33]

Klad33 в сообщении #508905 писал(а):

Я о другом. Невозможно придумать сходу кубическое уравнение, корни которого пушистые и опрятные.

Данной хитростью пользовался великий индийский математик Бхаскара, живший почти 1000 лет назад. Он составлял свои замысловатые радикальные выражения и как бы фантастически ловко их упрощал. Сей процесс хорошо раскрыт в статье http://renuar911.narod.ru/part13.htm