Два доказательства про НОД и НОК

[Unconnected]

1) Верно ли, что для всех натуральных a,b,c выполняется
$\left [a,b \right ]\left [a,c \right ]\left ( b,c \right )\geqslant \left ( a,b \right )\left ( a,c \right )\left [b,c \right ]\left$ (квадратные скобки - НОК, круглые - НОД)
Можно без ограничения общности считать, что $c\geqslant b\geqslant a$
И если заменить множители слева на максимальные, а справа - на минимальные (минимально возможные), то
$b^{2}\cdot c \geqslant a\cdot a \cdot b\cdot c$
$b \geqslant a^{2}$
Это выполняется не всегда.. Считается?

2) Доказать, что $a \cdot \left [ab,bc,ac \right ] \geqslant \left (ab,bc,ac \right ) \cdot \left [a,b,c \right ]$.
Тут как, расписывать в разложения простых?

[nnosipov]

1) Замените всюду НОКи на НОДы, неравенство станет проще (практически очевидным). Ваше рассуждение никуда не годится.
2) Здесь надо доказывать что-то другое.

[Unconnected]

Цитата:

Замените всюду НОКи на НОДы

В смысле, на что заменить?
2) В задании написано доказывать именно это)

[nnosipov]

Unconnected в сообщении #508847 писал(а):

Цитата:

Замените всюду НОКи на НОДы

В смысле, на что заменить?
2) В задании написано доказывать именно это)

Как выразить НОК двух чисел через НОД этих чисел?
Я понимаю, что в задании 2) нужно доказать именно это, но лучше доказывать что-то другое, из которого это будет следовать.

[Unconnected]

Ааа.. НОК - произведение, деленное на НОД. Ну да, так проще намного.. благодарю)

[Unconnected]

Ой, стоп, это только для первой актуально.. а что Вы имели в виду для второй? Из "другого" мне понятно только что
$ \left [ab,bc,ac \right ] \geqslant \left [a,b,c \right ]$.

[nnosipov]

Ладно, открою Вам всю правду (в п. 2) только полуправда, а это иногда хуже, чем ничего). Итак, нужно доказывать такой факт: число $a[ab,bc,ca]/(ab,bc,ca)$ целое и делится на $[a,b,c]$.

[Unconnected]

Ну, что целое - это понятно: НОК это все неповторяющиеся элементы из разложений + повторяющиеся, взятые единожды и с макс. степенью, а НОД - просто повторяющиеся, отношение будет целым.. а вот что делится на $[a,b,c]$ - вроде как тоже понятно, что такие элементы слева есть, но написать толком не могу.. (особенно после того, что уже поделили разок, и что там осталось-то)

[Unconnected]

Наверное, можно и проще:
$a[ab,bc,ca]/(ab,bc,ca) = \frac{a^{3}b^{2}c^{2}}{ \left (ab,bc,ac \right )^{2}}$, ну а это понятное дело делится на $[a,b,c]$, так как максимальное значение этого НОК-а $= abc$, и в левой части есть все простые из правой (тут слабовато).