Момент инерции квадрата

[ewert]

obar в сообщении #508324 писал(а):

Кроме равенства диагональных компонент тензона инерции должны еще обращаться в ноль все недиагональные элементы. Для двумерия это сразу следует из поворотной симметрии. Для трехмерия все уже не так очевидно

Этого я тоже не понял. Инвариантность диагональных элементов тензора при поворотах равносильна этим двум требованиям. Независимо от размерности. Раз уж он тензор.

[Munin]

ewert в сообщении #508295 писал(а):

это очевидно неверно. Возьмите просто стержень, наклонённый под 45 градусов к осям.

obar в сообщении #508324 писал(а):

Кроме равенства диагональных компонент тензона инерции должны еще обращаться в ноль все недиагональные элементы.

Да, я ошибся, забыв про них.

Но всё равно класс фигур с таким свойством слишком широк, чтобы описывать его какими-то более узкими симметриями. Например, возьмите вершины правильного семиугольника, и произвольно расставьте в них круги и квадраты.

[obar]

Munin в сообщении #508376 писал(а):

Но всё равно класс фигур с таким свойством слишком широк

Да, для двумерия действительно широк. Приведенное доказательство можно расширить на фигуры, совпадающие с собой при повороте на угол $2\pi/n$, $n\geq3$. При этом автоматически будет $I_{xx}=I_{yy}$, $I_{xy}=0$. Так что ваши семиугольники вполне проходят. Наверное, можно найти и другие симметрии, приводящие к равенствам $I_{xx}=I_{yy}$, $I_{xy}=0$. А вот для объемных фигур как? Какой группе симметрии должно обладать тело, чтобы все его моменты инерции совпадали (достаточное условие)? Думаю, не трудно будет это доказать, для полных групп симметрии правильных многогранников. Существуют ли другие симметрии -- не очевидно.

[Munin]

Обратите внимание, что мои "семиугольники" - не семиугольники на самом деле, а несимметрично распределённые массы. Не существует никакого движения плоскости, накладывающего их на себя, кроме тождественного. Уверен, в 3D то же самое, например, придайте этим "семиугольникам" большую толщину по $z.$

[obar]

Да, похоже идея с квадратами проходит. Сохраняется равенство диагональных элементов и по-прежнему равны нулю недиагональные. В трехмерном случае можно провернуть такой же трюк. Вот и верь после этого в симметрию.

[Munin]

А чем плоха симметрия тензора как свойство произвольного распределения плотности? Ненаглядностью?

[obar]

"Симметрия тензора" и "произвольность распределения плотности" -- диссонанс, режущий слух. Видимо, симметрия распределения зарыта где-то на более глубоком уровне.