Момент инерции квадрата

[give_up]

Скажите, верно ли что момент инерции квадрата со стороной $a$относительно любой оси, проходящей через его центр масс и лежащей в плоскости квадарата, равен $ma^2/12$ (в силу симметрии)?

[Хорхе]

Оно может быть и верно, но в силу симметрии это верно только для круглого квадрата.

[ewert]

Хорхе в сообщении #508028 писал(а):

но в силу симметрии это верно только для круглого квадрата.

Имелось в виду, что "в силу симметрии это могло бы быть верно только для круглого квадрата".

Тем не менее -- это всё-таки верно именно в силу симметрии, и даже для квадратного квадрата. Ибо очевидно, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от поворота. И очевидно, что эти два момента при любом повороте совпадают, вот как раз в силу симметрии.

[obar]

То же будет верно и для куба: момент инерции относительно любой оси, проходящей через центр однородного куба одинаков. Более того, это свойство выполняется и для тетраэдра и для октаэдра...

[ewert]

Вообще для любых фигур и тел, обладающих соответствующими симметриями (и относительно отражений, и относительно поворотов).

[obar]

Интересно уточнить: какими такими соответствующими симметриями? И какие фигуры еще вы можете привести в пример, кроме правильных многогранников?

[ewert]

Навскидку -- астроиду. И т.д.

[obar]

С двумерными фигурами все ясно: таким свойством обладает любая фигура, совпадающая сама с собой при повороте на $\pi/2$. А вот с трехмерными фигурами сложнее. Можете ли вы сформулировать общее свойство симметрии для них?

[ewert]

obar в сообщении #508079 писал(а):

С двумерными фигурами все ясно: таким свойством обладает любая фигура, совпадающая сама с собой при повороте на $\pi/2$.

Не любая: рассмотрите какой-нить четырёхлопастной вентилятор. Ну хотя бы из прямоугольников.

obar в сообщении #508079 писал(а):

Можете ли вы сформулировать общее свойство симметрии для них?

Не могу, лень.

[obar]

ewert в сообщении #508087 писал(а):

Не любая: рассмотрите какой-нить четырёхлопастной вентилятор. Ну хотя бы из прямоугольников.

Вы ошибаетесь -- любая. Доказательство простое. Берем любые две ортогональные оси, проходящие через центр. Моменты инерции относительно них равны (в силу симметрии). Легко показать, что моменты $I_{xy}=I_{yx}$ обращаются в ноль. Значит, тензор момента инерции кратен единичному и остается таковым при любых поворотах.

[ewert]

obar в сообщении #508103 писал(а):

Вы ошибаетесь

Да, ошибаюсь. Но всё равно лень.

[obar]

Жаль. Хотелось бы узнать ответ на этот вопрос...

[Munin]

По-моему, свойство симметрии очевидно и бесполезно: годится любая фигура, для которой моменты вокруг двух (трёх) заданных перпендикулярных осей равны. В частности, бывают плоские фигуры, не имеющие никакой особо красивой формы, совпадающей с собой при поворотах, и имеющие это свойство.

[ewert]

Munin в сообщении #508256 писал(а):

По-моему, свойство симметрии очевидно и бесполезно: годится любая фигура, для которой моменты вокруг двух (трёх) заданных перпендикулярных осей равны.

Или я не понял формулировки, или это очевидно неверно. Возьмите просто стержень, наклонённый под 45 градусов к осям.

[obar]

Кроме равенства диагональных компонент тензона инерции должны еще обращаться в ноль все недиагональные элементы. Для двумерия это сразу следует из поворотной симметрии. Для трехмерия все уже не так очевидно (хотя бы на примере тетраэдра).