Сходимость по различным нормам

[purser]

Рассмотрим последовательность из $C[-1,1]$: $x_n(t)=\begin{cases}1, t\geqslant\frac{1}{n}\\nt,t \in (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})\\-1, t\leqslant-\frac{1}{n}\end{cases}$

Что будет её пределом в случае чебышёвской нормы $\|f\|=\max_{t \in [-1,1]}|f(t)|$ и в случае интегральной нормы $\|f\|=\int_{-1}^1|f(t)|dt$ ?

В случае обычной нормы $\|f\|=|f|$ понятно, что $\lim_{n\to\infty}x_n(t)=x(t)$, где
$x_n(t)=\begin{cases}1, t>0\\0,t =0\\-1, t<0\end{cases}$, - последовательность непрерывных функций сходится к разрывной, значит нет равномерной сходимости и нет полноты.
Как действовать с первыми двумя нормами ?

[alcoholist]

По норме

purser в сообщении #506927 писал(а):

$\|f\|=\max_{t \in [-1,1]}|f(t)|$

последовательность не является фундаментальной

purser в сообщении #506927 писал(а):

в случае интегральной нормы $\|f\|=\int_{-1}^1|f(t)|dt$

последовательность является последовательностью Коши, но предела нет, т.к. $C([-1;1])$ не является полным относительно этой нормы


Кстати, что такое

purser в сообщении #506927 писал(а):

В случае обычной нормы $\|f\|=|f|$

?

[ewert]

purser в сообщении #506927 писал(а):

, значит нет равномерной сходимости и нет полноты.

До сих пор всё было хорошо, но тут: что значит "нет полноты"?... полноты чего?...

alcoholist в сообщении #507026 писал(а):

последовательность является последовательностью Коши, но предела нет, т.к. $C([-1;1])$ не является полным относительно этой нормы

Это правда, конечно, но с двумя оговорками. Во-первых, наоборот: не сходимости нет из-за неполноты, а есть неполнота из-за отсутствия сходимости (например) в данном конкретном случае. Во-вторых, вопрос этот довольно скользкий. Если бы обе нормы предлагались к анализу по отдельности, то это одно дело. А когда вместе -- не исключено, что авторы допускали предельную функцию, не лежащую в $C$. Скользко как-то.

[purser]

alcoholist в сообщении #507026 писал(а):

По норме

purser в сообщении #506927 писал(а):

$\|f\|=\max_{t \in [-1,1]}|f(t)|$

последовательность не является фундаментальной

Хорошо, проверяем. Пусть $\varepsilon=\frac{1}{3}$ и $\forall N$ зафиксируем $n_1>N$ и $n_2=2n_1$, тогда

$$\max_{x \in [-1,1]}(|f_{n_2}-f_{n_1}|)=\max_{x \in [-1,1]}(|(n_2-n_1)x|)=|(n_2-n_1)\frac{1}{2n_1}|=\frac{1}{2}>\varepsilon=\frac{1}{3}$$

Получается, поточечная сходимость есть, но нет равномерной. Верно ?

Цитата:

Кстати, что такое

purser в сообщении #506927 писал(а):

В случае обычной нормы $\|f\|=|f|$

?

Здесь я имел в виду поточечную сходимость, но ляпнул ерунду

-- Ср ноя 23, 2011 23:51:37 --

ewert в сообщении #507070 писал(а):

purser в сообщении #506927 писал(а):

, значит нет равномерной сходимости и нет полноты.

До сих пор всё было хорошо, но тут: что значит "нет полноты"?... полноты чего?...

Следовало бы сказать, нет равномерной сходимости, значит последовательность не фундаментальна и о полноте данного метрического пространства никаких выводов делать нельзя.

[ewert]

purser в сообщении #507192 писал(а):

Следовало бы сказать, нет равномерной сходимости, значит последовательность не фундаментальна

Это -- неверная логика. Из отсутствия сходимости к чему-то конкретному ещё не следует отсутствия фундаментальности.

Конечно, из этого легко выкрутиться, если порасставлять слова в разумном порядке. Но порасставлять придётся, пока же это -- не аргумент.

[purser]

ewert в сообщении #507201 писал(а):

purser в сообщении #507192 писал(а):

Следовало бы сказать, нет равномерной сходимости, значит последовательность не фундаментальна

Это -- неверная логика. Из отсутствия сходимости к чему-то конкретному ещё не следует отсутствия фундаментальности.

Конечно, из этого легко выкрутиться, если порасставлять слова в разумном порядке. Но порасставлять придётся, пока же это -- не аргумент.

Я тут пользовался тем, что если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то она сходится к непрерывной функции. (Кстати, здесь у меня вопрос, зависит ли это утверждение от конкретной нормы) Следовательно раз последовательность непрерывных функций сходится к разрывной функции, то она (последовательность) сходится не равномерно, а поточечно. Нас же интересует именно равномерная сходимость. Разве неверно, что "последовательность фундаментальна тогда и только тогда, когда последовательность сходится" ?

[ewert]

purser в сообщении #507212 писал(а):

Следовательно раз последовательность непрерывных функций сходится к разрывной функции, то она (последовательность) сходится не равномерно, а поточечно.

Вот, к примеру, хотя бы и это рассуждение: оно не то чтобы даже неверно -- оно бессодержательно. В каком смысле "раз последовательность непрерывных функций сходится"-то?...

Абстрактных "сходимостей" не бывает: сходимость -- всегда в каком-то конкретном смысле. Вам нужно опровергнуть равномерную сходимость (или, что то же, фундаментальность -- в силу полноты пространства), да? -- Ну так с этого и начинайте. Типа: предположим, она к чему-то сходится относительно равномерной нормы. Тогда она непременно сходится к (и обязательно обосновать, почему именно этому "к"). Но тогда...

[purser]

Предположим, данная последовательность к чему-то сходится относительно равномерной нормы. Тогда она непременно сходится к элементу данного пространства в силу его полноты относительно равномерной нормы. То есть она сходится к непрерывной функции. Но выше было установлено, что она сходится к разрывной функции - противоречие.
Похоже на правду?)
Ещё такой вопрос. Когда мы говорим о какой-либо сходимости (равномерной и т.д.), имеет ли значение, какая конкретно в этом пространстве норма ?

[alcoholist]

purser в сообщении #507293 писал(а):

Предположим, данная последовательность к чему-то сходится относительно равномерной нормы. Тогда она непременно сходится к элементу данного пространства в силу его полноты относительно равномерной нормы. То есть она сходится к непрерывной функции. Но выше было установлено, что она сходится к разрывной функции - противоречие.

Ничего не понятно: сходимость по $\max$-норме означает равномерную сходимость. В $C([-1;1])$ с указанной нормой упомянутая выше последовательность не сходится.

purser в сообщении #507293 писал(а):

Когда мы говорим о какой-либо сходимости (равномерной и т.д.)

Смотря как Вы определяете сходимость. Насколько я помню, дело обстоит следующим образом: определить сходимость последовательности в ЛП означает задать в нем структуру равномерного пространства. Но не любое равномерное пространство нормируемо.

Навскидку: поточечная сходимость задает ненормируемую равномерность на $C([-1;1])$

[purser]

alcoholist в сообщении #507297 писал(а):

purser в сообщении #507293 писал(а):

Предположим, данная последовательность к чему-то сходится относительно равномерной нормы. Тогда она непременно сходится к элементу данного пространства в силу его полноты относительно равномерной нормы. То есть она сходится к непрерывной функции. Но выше было установлено, что она сходится к разрывной функции - противоречие.

Ничего не понятно: сходимость по $\max$-норме означает равномерную сходимость. В $C([-1;1])$ с указанной нормой упомянутая выше последовательность не сходится.

Вот я и пытаюсь это обосновать (от противного), что она не сходится, то есть не фундаментальна.
Вы в первом посте сказали, что она не фундаментальна, но мне так сразу это не очевидно .
ewert попросил это аккуратно обосновать.

[alcoholist]

Этого:

purser в сообщении #507192 писал(а):

$\exists\varepsilon=\frac{1}{3}$ и $\forall N$ $\exists n_1>N$, $n_2>N$, что

$$\max_{x \in [-1,1]}(|f_{n_2}(x)-f_{n_1}(x)|)=\frac{1}{2}>\varepsilon=\frac{1}{3}$$

достаточно.

[purser]

Есть ещё одна задачка. Опять дано пространство $C[-1,1]$ с нормой $\|f\|_1=\max_{x \in [-1,0]}(|f(x)|)+\int_{0}^{1}|f(x)|dx$
Доказать, что пространство неполно относительно этой нормы.
Рассмотрим последовательность $f_n \in C[-1,1], f_n=\begin{cases}0, x \in [-1,1-\frac{1}{n}] \\nx-n+1, x \in (1-\frac{1}{n},1]\end{cases}$
Является ли она фундаментальной ? По моему является.

[ewert]

purser в сообщении #507293 писал(а):

Предположим, данная последовательность к чему-то сходится относительно равномерной нормы. Тогда она непременно сходится к элементу данного пространства в силу его полноты относительно равномерной нормы. То есть она сходится к непрерывной функции. Но выше было установлено, что она сходится к разрывной функции - противоречие.
Похоже на правду?)

Пока что не годится. В каком смысле она "сходится к разрывной функции" -- и как этот тип сходимости соотносится со сходимостью равномерной?... Пока что -- логический провал.

purser в сообщении #507310 писал(а):

Является ли она фундаментальной ? По моему является.

Является. Но это надо доказывать.

[purser]

ewert в сообщении #507402 писал(а):

purser в сообщении #507293 писал(а):

Предположим, данная последовательность к чему-то сходится относительно равномерной нормы. Тогда она непременно сходится к элементу данного пространства в силу его полноты относительно равномерной нормы. То есть она сходится к непрерывной функции. Но выше было установлено, что она сходится к разрывной функции - противоречие.
Похоже на правду?)

Пока что не годится. В каком смысле она "сходится к разрывной функции" -- и как этот тип сходимости соотносится со сходимостью равномерной?... Пока что -- логический провал.

Сходится к разрывной функции поточечно, так $\forall x \in [-1,1] \exists N: \forall n>N:$
$f_n(t)=\begin{cases}1, t>0\\0,t =0\\-1, t<0\end{cases}$
Коль скоро установлена функция к которой последовательность сходится поточечно, то и в случае равномерной сходимости она будет сходиться к этой же функции, поскольку равномерная сходимость влечет поточечную.

[ewert]

Ну теперь по кусочкам всё вроде верно, но кусочки эти разбросаны по необозримой территории.

Надо так (например). Из равномерной сходимости следует поточечная. Однако поточечно она сходится к разрывной функции; следовательно, сходимости к непрерывной функции (т.е. сходимости в $C([-1;1])$) нет. Кстати, полнота пространства здесь не при чём.