Линейные пространства

[Andrei94]

Является ли множество векторов $L$ -- линейным пространством?

$L=\Biggl\{\alpha\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \Biggl\}_{\alpha\in R}$

Если является, то записать базис и размерность этого пространства.

------------------------------------------------------------------------------

У меня есть пару идей, но они кажутся глупыми.

Докажем, что $L$ - линейное пространство.

Возьмем 2 вектора из множества $L$ (при $\alpha=1$ и $\alpha=2$)
$\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ и $\vec y =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} $

1) $\vec x+ \vec y=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\in L$

2) Вектор $\vac x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ принадлежит $L$ и $\alpha\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\in L$

Значит $L$ - линейное пространство.

А $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ - базисный вектор. (Это подразумеваестся, когда просят определить базис?)

Размерность $1$ Так как все вектора в этом пространстве лежат на одной прямой...

[ewert]

Andrei94 в сообщении #507044 писал(а):

У меня есть пару идей, но они кажутся глупыми.

Это не идеи глупые, а вопрос глупый. Это -- линейная оболочка указанного вектора, а линейная оболочка -- всегда линейное пространство.

У Вас же идеи, в принципе, правильны, но оформлены нехорошо. К примеру:

Andrei94 в сообщении #507044 писал(а):

Возьмем 2 вектора из множества $L$ (при $\alpha=1$ и $\alpha=2$)
$\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ и $\vec y =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} $

А с какой стати мы эти именно векторы возьмём?... А вдруг с другими чего не склеится?...

[arseniiv]

Да, нельзя из $P(t)$ вывести $\forall x P(x)$. Рассматривайте сразу два любых вектора. Вы же $\alpha$ не какое-то конкретное брали.

[alcoholist]

ewert в сообщении #507071 писал(а):

Это -- линейная оболочка указанного вектора

$L$ формально задано как множество. То, что оно -- линейная олболочка и просят доказать. Типичная задача на понимание определения (л.п.).

[ewert]

alcoholist в сообщении #507265 писал(а):

То, что оно -- линейная олболочка и просят доказать.

Оно формально определено ровно как линейная оболочка, других определений линейных оболочек не бывает. Или требовалось доказать, что линейная оболочка -- это множество?...

[Leox]

ewert в сообщении #507071 писал(а):

Это не идеи глупые, а вопрос глупый. Это -- линейная оболочка указанного вектора, а линейная оболочка -- всегда линейное пространство.

Вопрос методически хороший. Его цель, как здесь уже сказали, проверить знание формальных определений, не более того.

[Andrei94]

Благодарю

$\alpha_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\in L$

$\alpha_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\in L$

$\alpha_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=(\alpha_1+\alpha_2)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\alpha\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\in L$

В качестве $\alpha$ я взял $\alpha = \alpha_1+\alpha_2$

Так будет корректно?!

[ewert]

Andrei94 в сообщении #507381 писал(а):

Так будет корректно?!

Корректно, но неполно. Вы доказали лишь аддитивность (замкнутость множества относительно операции сложения), а в понятие линейности входит ещё и однородность (замкнутость относительно умножений на число).

(Оффтоп)

Leox в сообщении #507340 писал(а):

Вопрос методически хороший. Его цель, как здесь уже сказали, проверить знание формальных определений,

Вопрос именно методически плохой. Понятие линейной оболочки принципиально, и поэтому наиболее разумный ответ на первый из поставленных вопросов: "да, конечно, это линейное пространство, ибо это линейная оболочка, точка". Ну кому это нужно.

[Andrei94]

То есть нужно еще вот этот второй пункт добавить?!

Andrei94 в сообщении #507044 писал(а):

2) Вектор $\vac x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ принадлежит $L$ и $\alpha\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\in L$

Размерность $1$ Так как все вектора в этом пространстве лежат на одной прямой...

[ewert]

Andrei94 в сообщении #507403 писал(а):

То есть нужно еще вот этот второй пункт добавить?!

Нет, не этот.

Andrei94 в сообщении #507403 писал(а):

Размерность $1$ Так как все вектора в этом пространстве лежат на одной прямой...

Эта фраза вообще не имеет смысла: в линейной алгебре как таковой понятия "прямая" нет (точнее, оно никак не входит в число базовых понятий).

[bot]

ewert в сообщении #507394 писал(а):

да, конечно, это линейное пространство, ибо это линейная оболочка, точка

Вот и требуется проверить, что линейная оболочка является л. п. Вот стоит начинающий перед списком аксиом л.п. в глубокой задумчивости с чего бы начать ... А если и начнёт, то где достаточно остановиться? Почему?

ewert, ТС Вас ещё не убедил, что вопрос неплох методически?

[ewert]

bot в сообщении #507776 писал(а):

Вот и требуется проверить, что линейная оболочка является л. п.

Это -- стандартная теорема.

[bot]

А это зависит. Может быть и упражнением.

[Leox]

ewert в сообщении #507394 писал(а):

Вопрос именно методически плохой. Понятие линейной оболочки принципиально, и поэтому наиболее разумный ответ на первый из поставленных вопросов: "да, конечно, это линейное пространство, ибо это линейная оболочка, точка". Ну кому это нужно.

Не согласен. Задача учебно-формальная, на знание аксиом векторного пространства. Вы же предлагаете решение которое не предполагает знание аксиом. Да, решение правильное, короткое но тавтологическое по своей сути и пользы студенту от него никакой. Таким образом научить нельзя.

[ewert]

Leox в сообщении #507984 писал(а):

Задача учебно-формальная, на знание аксиом векторного пространства.

bot в сообщении #507780 писал(а):

А это зависит.

Вот с последним готов согласиться. Только дело в том, что линейные оболочки, базисы и размерности -- они все где-то рядышком (хотя это, конечно, смотря как строить курс). Поэтому вопрос и выглядит нелепо, если глянуть на него снаружи. Но в рамках какого-нибудь конкретного курса какого-нибудь конкретного преподавателя -- может, и уместен.