Компактное подпространство прямой Зоргенфрея

[Someone]

Пусть $A\neq\varnothing$ и $a_0=\inf A$ (возможно, $a_0=-\infty$). Рассмотрите два случая: $a_0\in A$ и $a_0\notin A$.

[xmaister]

Положим, что $B_a=\{b|b\in A, b\ge a\}$. Если $a_0\in A$, тогда $A=B_{a_0}$, т.е. счётно. Пусть $a_0\not\in A$, $a_0$- конечно. Рассмотрим последовательность $a_n=a_0+\frac1{n}$. $A=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}B_{a_i}$, т.е. $A$- счётно. Если $a_0=-\infty$, то $a_n=-n$ и $A=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}B_{a_i}$. Т.е. получаем противоречие. Так?

[Someone]

xmaister в сообщении #506393 писал(а):

Так?

Так.
Ещё подсказки требуются?

[xmaister]

Теперь ясно, что каждое несчётное множество содержит возрастающую последовательность $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Если $\{a_n\}$ ограничена, положим, что $a=\sup\limits_{n\in\mathbb{N}} a_n$.Тогда $A= \left(A\cap (-\infty, a_1)\right)\cup\left(A\cap\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}[a_{i},a_{i+1})\right)\cup \left(A\cap [a,\infty)\right)$, а из такого покрытия нельзя выделить конечное подпокрытие. Если $\sup\limits_{n\in\mathbb{N}}a_n=\infty$, то $A=\left(A\cap (-\infty, a_1)\right)\cup\left(A\cap\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}[a_{i},a_{i+1})\right)$. Т.е. $A$- не компакт. Если такие рассуждения корректны, тогда вопросов больше нет.

[Someone]

xmaister в сообщении #506403 писал(а):

Теперь ясно

А доказательство где?

P.S. А квадратные скобки у Вас что делают? Если просто заменяют круглые, то, может быть, лучше круглые и писать. Я, например, привык квадратными скобками замыкание обозначать.

[xmaister]

Someone в сообщении #506412 писал(а):

А доказательство где?

Пусть $a_0\ne\inf A$ и справа от $a_0\in A$ лежит несчётное множество точек из $A$, тогда в $B_0=\{b|b\in A,b\ge a_0\}$ существует точка $a_1\ne\inf B_{0}$ для которой $B_1=\{b|b\in A,b\ge a_1\}$ также не счётно. Положим, что $B_{i-1}$- не счётно, тогда существует $a_i\in B_{i-1}$, $a_i\ne\inf B_{i-1}$ , что $B_i=\{b|b\in A, b\ge a_i\}$. Тогда имеем возрастающую последовательность $a_n=\inf B_n$.

[Someone]

xmaister в сообщении #506428 писал(а):

справа от $a_0\in A$ лежит несчётное множество точек из $A$, тогда в $B_0=\{b|b\in A,b\ge a_0\}$ существует точка $a_1\ne\inf B_{0}$ для которой $B_1=\{b|b\in A,b\ge a_1\}$ также не счётно

Я понимаю, что Вам не хочется повторять рассуждение, которое Вы уже проделали, но сформулированное Вами утверждение требует доказательства. И без предположения $a_0\in A$, так как наше исходное рассуждение не гарантирует этого включения. Это утверждение можно выделить как вспомогательную лемму, чтобы использовать потом для построения последовательности.

P.S. Я просто хочу научить Вас аккуратно рассуждать.

[xmaister]

Не понял. Ведь я же доказал, что если $\forall a\in A$ $B_a$ счётно, то $A$ счётно. Теперь, если $a=\inf A< -\infty$, то рассматриваю множество $A'=A\setminus \{a\}$, которое также не счётно, это гарантирует, что выбранное $a_0\ne a$. Далее определяю $B_n$ по индукции.

-- 22.11.2011, 00:58 --

Или требует доказательства то, что $a_0\in A'$?

[Someone]

Ну, что-то в таком роде и должно быть сказано.

[xmaister]

А, т.е. нужно было обосновать, что данная последовательность будет строго возрастающей?

[lyuk]

Пусть K -- компактное подпространство прямой Зоргенфрея. Тогда тождественное отбражение из K на K с топологией числовой прямой -- гомеоморфизм. Т.о., K -- компактное подмножество числовой прямой (дополнение к нему счетное обьединение интервалов) и все точки из K изолированы слева (это вытекает из равенства двух топологий на K). Поэтому каждая точка из K -- конечная точка интервала из дополнения. Значит, K -- не более чем счетно.

[Someone]

Понятно. Очень простое доказательство.