2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение12.11.2011, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Здравствуйте!
Требуется доказать, что каждое компактное подпространство прямой Зоргенфрея счётно.
Понятно, что каждое компактное подпространство в прямой Зоргенфрея- замкнутое множество. Там дано указание, что нужно воспользоваться тем, что каждое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства на хаусдорфова пространство- гомеоморфизм. Я думаю предположить, что существует несчётный, но с чем должно получится противоречие- непонимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение13.11.2011, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Базу топологии прямой Зоргенфрея $Z$ образуют полуинтервалы $[a,b)$, поэтому компактное подмножество $Z$ не может содержать бесконечных возрастающих последовательностей. Я бы попробовал доказать, что каждое несчётное подмножество на прямой содержит такую последовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение14.11.2011, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Someone
Т.е. последовательность вместе с пределом будет компактом. Но я не понимаю, как доказать, что не будет компактов большей мощности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение14.11.2011, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Ни фига Вы не поняли. Посмотрите внимательнее на топологию прямой Зоргенфрея: бесконечная возрастающая последовательность является замкнутым множеством и не компактна. Поэтому компактное подмножество прямой Зоргенфрея не может содержать таких последовательностей. Докажите, что каждое несчётное подмножество прямой Зоргенфрея содержит бесконечную возрастающую последовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Рассмотрим несчётное множество $A$. Существует точка $a_0\in A$ справа от которой лежит несчётное множество точек, принадлежащих $A$. Значит существует последовательность, лежащая в $A$. А т.к. $A$- компакт, то всякое замкнутое множество вместе со сходящейся последовательностью содержит её предел, отсюда следует, что каждое несчётное множество содержит последовательность вместе с передел, а значит оно не является компактом.
Так верно будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Что-то я даже не пойму, что Вы написали. Раньше Вы лучше рассуждали. Наличие какой-то последовательности криминалом не является. Криминалом является наличие последовательности, не имеющей предела в топологии Зоргенфрея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Так из того, что во всяком несчётном множестве содержится возрастающая последовательность вместе с пределом следует, что оно не компактно, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Конечно, нет. В отрезке с обычной топологией полно сходящихся последовательностей "вместе с пределом", однако он компактен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Someone в сообщении #505242 писал(а):
сходящихся последовательностей

Возрастающих последовательностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
В том числе и возрастающих.

В топологии Зоргенфрея, в отличие от обычной топологии числовой прямой, возрастающая последовательность не имеет предела, на этом и строится доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Не понимаю, ведь всякая последовательность это направленность, а в хаусдорфовом пространстве она имеет не более одного предела. Он же вроде существует по определению предела направленности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Возьмите возрастающую последовательность, например, $a_n=-\frac 1n$, и попробуйте доказать, что в топологии Зоргенфрея она имеет предел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Не имеет, т.к. для окрестности $[0,a)$ не существует $n_0$, такого что, $a_n\in [0,a)$ для любого $n\ge n_0$. Подумаю ещё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение18.11.2011, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Правильно. Более того, эта последовательность вообще не имеет предельных точек. Поэтому она не может содержаться в компактном подмножестве прямой Зоргенфрея. Надеюсь, это понятно?

Если понятно, то следующая задача - доказать, что каждое несчётное подмножество прямой Зоргенфрея обязательно содержит возрастающую последовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Someone
Пусть $A$- несчётно. Я пытаюсь доказать, что существует $a\in A$, такой что справа от него лежит несчётное $B_a=\{b|b\in A, b>a\}$ подмножество $A$. Предполагаю обратное, т.е. для любого $a\in A$ $|B_a|\le\aleph_0$. Но как из этого получить, что $A$- счётно, я не понимаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group