2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Пусть $A\neq\varnothing$ и $a_0=\inf A$ (возможно, $a_0=-\infty$). Рассмотрите два случая: $a_0\in A$ и $a_0\notin A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Положим, что $B_a=\{b|b\in A, b\ge a\}$. Если $a_0\in A$, тогда $A=B_{a_0}$, т.е. счётно. Пусть $a_0\not\in A$, $a_0$- конечно. Рассмотрим последовательность $a_n=a_0+\frac1{n}$. $A=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}B_{a_i}$, т.е. $A$- счётно. Если $a_0=-\infty$, то $a_n=-n$ и $A=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}B_{a_i}$. Т.е. получаем противоречие. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
xmaister в сообщении #506393 писал(а):
Так?
Так.
Ещё подсказки требуются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Теперь ясно, что каждое несчётное множество содержит возрастающую последовательность $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Если $\{a_n\}$ ограничена, положим, что $a=\sup\limits_{n\in\mathbb{N}} a_n$.Тогда $A= \left(A\cap (-\infty, a_1)\right)\cup\left(A\cap\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}[a_{i},a_{i+1})\right)\cup \left(A\cap [a,\infty)\right)$, а из такого покрытия нельзя выделить конечное подпокрытие. Если $\sup\limits_{n\in\mathbb{N}}a_n=\infty$, то $A=\left(A\cap (-\infty, a_1)\right)\cup\left(A\cap\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}[a_{i},a_{i+1})\right)$. Т.е. $A$- не компакт. Если такие рассуждения корректны, тогда вопросов больше нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
xmaister в сообщении #506403 писал(а):
Теперь ясно
А доказательство где?

P.S. А квадратные скобки у Вас что делают? Если просто заменяют круглые, то, может быть, лучше круглые и писать. Я, например, привык квадратными скобками замыкание обозначать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Someone в сообщении #506412 писал(а):
А доказательство где?

Пусть $a_0\ne\inf A$ и справа от $a_0\in A$ лежит несчётное множество точек из $A$, тогда в $B_0=\{b|b\in A,b\ge a_0\}$ существует точка $a_1\ne\inf B_{0}$ для которой $B_1=\{b|b\in A,b\ge a_1\}$ также не счётно. Положим, что $B_{i-1}$- не счётно, тогда существует $a_i\in B_{i-1}$, $a_i\ne\inf B_{i-1}$ , что $B_i=\{b|b\in A, b\ge a_i\}$. Тогда имеем возрастающую последовательность $a_n=\inf B_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 23:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
xmaister в сообщении #506428 писал(а):
справа от $a_0\in A$ лежит несчётное множество точек из $A$, тогда в $B_0=\{b|b\in A,b\ge a_0\}$ существует точка $a_1\ne\inf B_{0}$ для которой $B_1=\{b|b\in A,b\ge a_1\}$ также не счётно
Я понимаю, что Вам не хочется повторять рассуждение, которое Вы уже проделали, но сформулированное Вами утверждение требует доказательства. И без предположения $a_0\in A$, так как наше исходное рассуждение не гарантирует этого включения. Это утверждение можно выделить как вспомогательную лемму, чтобы использовать потом для построения последовательности.

P.S. Я просто хочу научить Вас аккуратно рассуждать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение21.11.2011, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Не понял. Ведь я же доказал, что если $\forall a\in A$ $B_a$ счётно, то $A$ счётно. Теперь, если $a=\inf A< -\infty$, то рассматриваю множество $A'=A\setminus \{a\}$, которое также не счётно, это гарантирует, что выбранное $a_0\ne a$. Далее определяю $B_n$ по индукции.

-- 22.11.2011, 00:58 --

Или требует доказательства то, что $a_0\in A'$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение22.11.2011, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Ну, что-то в таком роде и должно быть сказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение22.11.2011, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
А, т.е. нужно было обосновать, что данная последовательность будет строго возрастающей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение22.11.2011, 19:16 


22/11/11
128
Пусть K -- компактное подпространство прямой Зоргенфрея. Тогда тождественное отбражение из K на K с топологией числовой прямой -- гомеоморфизм. Т.о., K -- компактное подмножество числовой прямой (дополнение к нему счетное обьединение интервалов) и все точки из K изолированы слева (это вытекает из равенства двух топологий на K). Поэтому каждая точка из K -- конечная точка интервала из дополнения. Значит, K -- не более чем счетно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактное подпространство прямой Зоргенфрея
Сообщение22.11.2011, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Понятно. Очень простое доказательство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group