База подмножеств

[Unconnected]

База подмножеств это система множеств, которая обладает свойствами: ни одно множество не пусто и любые два из них имеют общие элементы. Так вот, как это дело представить можно вообще? Может, множество шаров с центром в одной точке? Просто, допустим, если взять такое определение "связь предела отображений и пределов его сужений", то так так:

Пусть $X_0\subset X , f_0$ сужение $f$ на $X_0$, если $\forall A\in \alpha; A \cap X_0 \neq 0 $, то предел по базе $\alpha$ равен пределу по базе $A \cap X_0$. Я не понимаю, где у этого множества шаров должен быть центр в данном случае, чтобы то, что элементы $X_0$ есть в каждом кусочке базы, давало равенство пределов.

Извиняюсь за кривой TeX, долго искал некоторые штуки, так и не нашёл)

[AKM]

Какие штуки Вы не нашли? Может, всего лишь индексы? $ X_0,X_{0123} $: $ X_0,X_{0123} $. Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).

[Someone]

Unconnected в сообщении #505250 писал(а):

База подмножеств это система множеств, которая обладает свойствами: ни одно множество не пусто и любые два из них имеют общие элементы.

??? Такое семейство множеств, любые два из которых имеют непустое пересечение, мне известно под названием "сцепленное семейство множеств". О пределах по такому семейству множеств я не слышал.
Посмотрите точное определение своей базы.

Unconnected в сообщении #505250 писал(а):

Я не понимаю, где у этого множества шаров должен быть центр в данном случае, чтобы то, что элементы $X_0$ есть в каждом кусочке базы, давало равенство пределов.

Забудьте вообще о шарах, просто формально проверьте выполнение определения предела.

[Unconnected]

У нас базу определяли именно так, как я написал, и конкретно предел по базе тоже определялся. Вкратце, для любого $e>0$ существует такое множество из базы, что для всех иксов из этого множества $|f(x)-L|<e$.
Забыть не очень хочется.. обычно чтобы понять теорему, более-менее как-то представляю процесс.

[Someone]

Очень странно, потому что я точно знаю, что базой (или базой фильтра) незывается непустое семейство $\mathscr B$ непустых подмножеств заданного множества, удовлетворяющих следующему условию: для любых $B_1,B_2\in\mathscr B$ существует такое $B_3\in\mathscr B$, что $B_3\subseteq B_1\cap B_2$.
Может быть, Вы записали плохо? Или излагаете так, что я Вас неправильно понимаю. Что это значит - "имеют общие элементы"?
Поищите в Гугле "предел по базе".

Unconnected в сообщении #505288 писал(а):

Забыть не очень хочется.. обычно чтобы понять теорему, более-менее как-то представляю процесс.

Ну и представляйте себе произвольные множества, нужным образом пересекающиеся и вложенные. А то у Вас какие-то странные проблемы возникают насчёт центров.

Но в данном случае утверждение, которое Вы хотите доказать, совершенно тривиально, если иметь перед глазами формальное определение предела.

[Unconnected]

Ну вот вообще, почему если $\forall A \in \alpha : A\bigcap X_0 \neq 0 \Rightarrow \alpha\bigcap X_0$ база? Возьмём пресловутый шар в качестве базы $\alpha$, можно легко привести пример множества X, когда в каждом вложенном шаре будет элемент этого множества X, и эти элементы пересекаться не будут, т.е. не будут образовывать базу..

[Someone]

Unconnected в сообщении #506335 писал(а):

Возьмём пресловутый шар в качестве базы $\alpha$

То есть, семейство $\alpha$ состоит из одного множества?

Unconnected в сообщении #506335 писал(а):

легко привести пример множества X, когда в каждом вложенном шаре будет элемент этого множества X, и эти элементы пересекаться не будут

Я не понял, о каких вложенных шарах идёт речь. Они являются элементами базы? У Вас же вся база из одного шара состоит. Ну приведите такой пример.

[Unconnected]

Сорри, не один шар, а множество шаров с центром в одной точке. И каждый вложенный шар будет пересекаться с X таким элементом, каким другие вложенные шары с Х пересекаться не будут..

[Someone]

Ну так где пример-то?

[Unconnected]

Первая база: [-3;3],[-2,2],[-1,1],[-0.5,0.5]...... и пусть X={-3,-2,-1,-0.5,......}, т.е. X=[-3,0) , там конечно бесконечно много шаров, и между точками тоже точек бесконечно много..

[Someone]

И что?

P.S. Я правильно понял, что $X=[-3,0)$, а определение $X=\{-3,-2,-1,-0.5,\ldots\}$ нужно игнорировать?
P.P.S. Не нарушайте правила форума о формулах.

[Unconnected]

Цитата:

а определение $X=\{-3,-2,-1,-0.5,\ldots\}$ нужно игнорировать?

Ну да.. ну я же не могу бесконечно много шаров написать. Про правила учту.

Хмм, наверное $A\bigcap X_0$ и правда база получается, интересно..

(Оффтоп)

Скажите пожалуйста, в порядке оффтопа, два отображения с одинаковыми образом-прообразом, но разными законами сопоставления элементов - одинаковые отображения или разные??

[Someone]

(Оффтоп)

Отображения $f\colon X\to Y$ и $g\colon X\to Y'$ считаются одинаковыми (то есть, $f=g$), если для всех $x\in X$ выполняется равенство $fx=gx$. (В теории множеств отображение $f\colon X\to Y$ отождествляется с множеством пар $\{(x,fx):x\in X\}$.) При необходимости можно учитывать и множество $Y$, если это зачем-то нужно.

Unconnected в сообщении #506434 писал(а):

Хмм, наверное $A\bigcap X_0$ и правда база получается

Получается, если определение базы формулировать так, как я написал (post505300.html#p505300). Для сцепленных систем аналогичное утверждение неверно.

[Unconnected]

Правильно ли я понимаю, что можно базу эту представить (допустим, в тех же целых числах) как n чисел, которые, будучи "первым" подмножеством, обрастают с обеих сторон другими числами, образуя новые подмножества?

Просто как-то странно, вроде бы если написать, что lim=5 при $x\to a$ и lim=5 по базе $\alpha$, то в первом случае понятно, что икс приближается к а, а во втором случае он к чему приближается? Может, если написать lim=10 по той же самой базе $\alpha$, то иксу опять будет куда приближаться, чтобы предел такой существовал? Хотя, если подразумевать под базой множество вложенных шаров с одним центром, то вопрос отпадает..

[Unconnected]

Вот тут например написано, в главе про асимптотические оценки: если f~g по базе $\left \{ B\left \{ a,\delta \right \}\bigcap E_1\bigcap E_2 \right \}$, то $x \to a$.. значит, всегда есть какая-то предельная точка, и всё вокруг неё..