2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 00:56 


03/09/11
275
Не очень понятно - чем отличается просто непрерывность от равномерной непрерывности.

Определения равномерной непрерывности и непрерывности в оффтопе (чтобы не занимало место)

(Оффтоп)

Непрерывность в точке $x_0$ у функции $f(x)$ означает, что

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$

Определение равномерной непрерывности:

Функция вещественного переменного $f:M \subset R \to R$ равномерно непрерывна, если
$$\forall \varepsilon > 0 \;\exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \;\forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta\bigr)\Rightarrow\bigl( |f(x_1)-f(x_2)| 
 < \varepsilon\bigr).$$
Здесь важно, что выбор $\delta$ зависит только от величины $\varepsilon$.


Предположение:

Как доказать, что функция не является равномерно непрерывной, несмотря на то, что она непрерывна?

Нужно указать $\varepsilon$ при котором не будет выполняться неравенство $|x_1-x_2| < \delta$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 01:02 


13/04/09
77
Отрицание равномерной непрерывности:
$\exists \varepsilon>0 : \forall \delta>0\ \exists x_{1}, x_{2}: |x_{1}-x_{2}|<\delta \to |f(x_{1})-f(x_{2})|>\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 01:06 


03/09/11
275
NiGHTeR в сообщении #505994 писал(а):
Отрицание равномерной непрерывности:
$\exists \varepsilon>0 : \forall \delta>0\ \exists x_{1}, x_{2}: |x_{1}-x_{2}|<\delta \to |f(x_{1})-f(x_{2})|>\varepsilon$


Ок, спасибо, понятно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 01:11 


13/04/09
77
Например, $f(x)=x^{2}$ непрерывна на $\double{R}$ но $f(x+\delta)-f(x)=(x+\delta)^{2}-x^2 \geqslant x \delta$ поэтому
$\exists \varepsilon=1: \forall \delta \ \exists \ (1/\delta+\delta); \ 1/\delta: |f(1/\delta+\delta)-f(1/\delta)|>1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 01:12 


03/09/11
275
А еще есть такой вопрос про доказательство отсутствия равномерной непрерывности у $f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$

Доказательство:

$f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$
непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как
$\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.$
Для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать отрезок сколь угодно малой длины $\varepsilon/x$ такой, что разница значений функции $f(x)=x^2$ на концах отрезка будет больше $\varepsilon.$ В частности, на отрезке $\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)$ разница значений функции стремится к $2\varepsilon.$

Вопрос такой:
А откуда взялось $\frac{a}{x}$ и откуда там предел взялся этот? Является ли это доказательство корректным (взято из Википедии, поэтому и спрашиваю). Доказывается не по определению равномерной сходимости, насколько я понимаю...

-- 21.11.2011, 02:13 --

NiGHTeR в сообщении #505999 писал(а):
Например, $f(x)=x^{2}$ непрерывна на $\double{R}$ но $f(x+\delta)-f(x)=(x+\delta)^{2}-x^2 \geqslant x \delta$ поэтому
$\exists \varepsilon=1: \forall \delta \ \exists \ (1/\delta+\delta); \ 1/\delta: |f(1/\delta+\delta)-f(1/\delta)|>1$


Как раз на тему этой функции задал вопрос) Сейчас попытаюсь понять то, что вы написали...

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 01:16 


13/04/09
77
я взял $\varepsilon=1$ и для каждого сколь угодно малого $\delta$ нахожу два числа (а именно $1/\delta+\delta; 1/\delta$ из интервала длины $\delta$ такие, что разность значений функции в этих точках больше $\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 01:18 


03/09/11
275
NiGHTeR в сообщении #505999 писал(а):
$\exists \varepsilon=1: \forall \delta \ \exists \ (1/\delta+\delta); \ 1/\delta: |f(1/\delta+\delta)-f(1/\delta)|>1$


Вот эту часть не понял...

Вы взяли $x_1=1/\delta+\delta$, а $x_2=1/\delta$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 01:19 


13/04/09
77
$x_{2}=1/\delta$, чтобы разность между $x_{1}$ и $x_{2}$ была меньше $\delta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 01:20 


03/09/11
275
А ведь, если $x_1=1/\delta+\delta$, а $x_2=1/\delta$

Тогда $x_1-x_2=\delta$

Получается, что не меньше, а равно $\delta$...

-- 21.11.2011, 02:26 --

(Оффтоп)

Один вопрос убрал, тк сам на него ответил

$(1/\delta+\delta)^2-(1/\delta)^2=2+\delta^2$


-- 21.11.2011, 02:29 --

А теперь я понял -- почему вы выбрали именно $x=1/\delta$!!!!

Чтобы $x\delta$ было конкретным числом! правильно?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 05:13 


03/09/11
275
Остался один вопрос основной

samuil в сообщении #506006 писал(а):
А ведь, если $x_1=1/\delta+\delta$, а $x_2=1/\delta$

Тогда $|x_1-x_2|=\delta$

Получается, что неравенство $|x_1-x_2|<\delta$ -- НЕ выполняется

Почему?


 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 11:05 


13/04/09
77
Ну да) ну эта проблема легко решается, берем $x_{1}=2/\delta+\delta/2; x_{2}=2/\delta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 12:18 


03/09/11
275
ок, спасибо, понятно!

И еще, то что $y=x^2$ не является равномерно непрерывной функцией - случайно не противоречит теореме Кантора?

Теорема Кантора: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Ведь $y=x^2$ -- непрерывна...А значит должны быть равномерно непрерывна..

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 12:23 


13/04/09
77
На любом отрезке ( и даже конечном интервале) $x^{2}$ - равномерно непрерывна. Но на $(-\infty;+\infty)$ это не выполняется (из за неограниченного возрастания производной функции)

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение21.11.2011, 14:23 


03/09/11
275
Ок, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Равномерная непрерывность
Сообщение22.11.2011, 04:06 


03/09/11
275
А как определить -- сходится ли равномерно $f(x)=\arctg x$ при $x\in (-\infty; \infty)$ ?

Есть попытки:

Я пока что мыслю так:

$|f(x_2)-f(x_1)|=|\arctg x_2-\arctg x_1|$

Дальше пытаюсь как-то это оценить сверху.

$\arctg x_1=\alpha$

$\arctg x_2=\beta$

$\tg(\arctg x_2-\arctg x_1)= \tg(\beta-\alpha)=\dfrac{\tg\beta - \tg\alpha}{1+\tg\alpha\cdot \tg\beta}=\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}$

тогда

$|\arctg x_2-\arctg x_1|=\Big|\arctg\big(\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}\big)\Big|$

Правильно? Или я что-то не то делаю? Дальше не знаю -- что делать...

-- 22.11.2011, 05:19 --



Можно еще написать, что $\Big|\arctg\big(\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}\big)\Big|<\dfrac{\pi}2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group