Равномерная непрерывность

[samuil]

Не очень понятно - чем отличается просто непрерывность от равномерной непрерывности.

Определения равномерной непрерывности и непрерывности в оффтопе (чтобы не занимало место)

(Оффтоп)

Непрерывность в точке $x_0$ у функции $f(x)$ означает, что

$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$

Определение равномерной непрерывности:

Функция вещественного переменного $f:M \subset R \to R$ равномерно непрерывна, если

$$\forall \varepsilon > 0 \;\exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \;\forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta\bigr)\Rightarrow\bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr).$$

Здесь важно, что выбор $\delta$ зависит только от величины $\varepsilon$.

Предположение:

Как доказать, что функция не является равномерно непрерывной, несмотря на то, что она непрерывна?

Нужно указать $\varepsilon$ при котором не будет выполняться неравенство $|x_1-x_2| < \delta$?

[NiGHTeR]

Отрицание равномерной непрерывности:
$\exists \varepsilon>0 : \forall \delta>0\ \exists x_{1}, x_{2}: |x_{1}-x_{2}|<\delta \to |f(x_{1})-f(x_{2})|>\varepsilon$

[samuil]

NiGHTeR в сообщении #505994 писал(а):

Отрицание равномерной непрерывности:
$\exists \varepsilon>0 : \forall \delta>0\ \exists x_{1}, x_{2}: |x_{1}-x_{2}|<\delta \to |f(x_{1})-f(x_{2})|>\varepsilon$

Ок, спасибо, понятно!

[NiGHTeR]

Например, $f(x)=x^{2}$ непрерывна на $\double{R}$ но $f(x+\delta)-f(x)=(x+\delta)^{2}-x^2 \geqslant x \delta$ поэтому
$\exists \varepsilon=1: \forall \delta \ \exists \ (1/\delta+\delta); \ 1/\delta: |f(1/\delta+\delta)-f(1/\delta)|>1$

[samuil]

А еще есть такой вопрос про доказательство отсутствия равномерной непрерывности у $f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$

Доказательство:

$f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$
непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как
$\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.$
Для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать отрезок сколь угодно малой длины $\varepsilon/x$ такой, что разница значений функции $f(x)=x^2$ на концах отрезка будет больше $\varepsilon.$ В частности, на отрезке $\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)$ разница значений функции стремится к $2\varepsilon.$

Вопрос такой:
А откуда взялось $\frac{a}{x}$ и откуда там предел взялся этот? Является ли это доказательство корректным (взято из Википедии, поэтому и спрашиваю). Доказывается не по определению равномерной сходимости, насколько я понимаю...

-- 21.11.2011, 02:13 --

NiGHTeR в сообщении #505999 писал(а):

Например, $f(x)=x^{2}$ непрерывна на $\double{R}$ но $f(x+\delta)-f(x)=(x+\delta)^{2}-x^2 \geqslant x \delta$ поэтому
$\exists \varepsilon=1: \forall \delta \ \exists \ (1/\delta+\delta); \ 1/\delta: |f(1/\delta+\delta)-f(1/\delta)|>1$

Как раз на тему этой функции задал вопрос) Сейчас попытаюсь понять то, что вы написали...

[NiGHTeR]

я взял $\varepsilon=1$ и для каждого сколь угодно малого $\delta$ нахожу два числа (а именно $1/\delta+\delta; 1/\delta$ из интервала длины $\delta$ такие, что разность значений функции в этих точках больше $\varepsilon$

[samuil]

NiGHTeR в сообщении #505999 писал(а):

$\exists \varepsilon=1: \forall \delta \ \exists \ (1/\delta+\delta); \ 1/\delta: |f(1/\delta+\delta)-f(1/\delta)|>1$

Вот эту часть не понял...

Вы взяли $x_1=1/\delta+\delta$, а $x_2=1/\delta$?

[NiGHTeR]

$x_{2}=1/\delta$, чтобы разность между $x_{1}$ и $x_{2}$ была меньше $\delta$

[samuil]

А ведь, если $x_1=1/\delta+\delta$, а $x_2=1/\delta$

Тогда $x_1-x_2=\delta$

Получается, что не меньше, а равно $\delta$...

-- 21.11.2011, 02:26 --

(Оффтоп)

Один вопрос убрал, тк сам на него ответил

$(1/\delta+\delta)^2-(1/\delta)^2=2+\delta^2$

-- 21.11.2011, 02:29 --

А теперь я понял -- почему вы выбрали именно $x=1/\delta$!!!!

Чтобы $x\delta$ было конкретным числом! правильно?!

[samuil]

Остался один вопрос основной

samuil в сообщении #506006 писал(а):

А ведь, если $x_1=1/\delta+\delta$, а $x_2=1/\delta$

Тогда $|x_1-x_2|=\delta$

Получается, что неравенство $|x_1-x_2|<\delta$ -- НЕ выполняется

Почему?

[NiGHTeR]

Ну да) ну эта проблема легко решается, берем $x_{1}=2/\delta+\delta/2; x_{2}=2/\delta$

[samuil]

ок, спасибо, понятно!

И еще, то что $y=x^2$ не является равномерно непрерывной функцией - случайно не противоречит теореме Кантора?

Теорема Кантора: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

Ведь $y=x^2$ -- непрерывна...А значит должны быть равномерно непрерывна..

[NiGHTeR]

На любом отрезке ( и даже конечном интервале) $x^{2}$ - равномерно непрерывна. Но на $(-\infty;+\infty)$ это не выполняется (из за неограниченного возрастания производной функции)

[samuil]

Ок, спасибо!

[samuil]

А как определить -- сходится ли равномерно $f(x)=\arctg x$ при $x\in (-\infty; \infty)$ ?

Есть попытки:

Я пока что мыслю так:

$|f(x_2)-f(x_1)|=|\arctg x_2-\arctg x_1|$

Дальше пытаюсь как-то это оценить сверху.

$\arctg x_1=\alpha$

$\arctg x_2=\beta$

$\tg(\arctg x_2-\arctg x_1)= \tg(\beta-\alpha)=\dfrac{\tg\beta - \tg\alpha}{1+\tg\alpha\cdot \tg\beta}=\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}$

тогда

$|\arctg x_2-\arctg x_1|=\Big|\arctg\big(\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}\big)\Big|$

Правильно? Или я что-то не то делаю? Дальше не знаю -- что делать...

-- 22.11.2011, 05:19 --



Можно еще написать, что $\Big|\arctg\big(\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}\big)\Big|<\dfrac{\pi}2$