А еще есть такой вопрос про доказательство отсутствия равномерной непрерывности у
![$f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$ $f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/1/601df25db16fa0f1719d372fbabe5f8682.png)
Доказательство:
![$f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$ $f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/1/601df25db16fa0f1719d372fbabe5f8682.png)
непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как
![$\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.$ $\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/9/d492d5b168bcc323ae244b26e7a53b7882.png)
Для любого
![$\varepsilon>0$ $\varepsilon>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/5/155142dbd92bd0eebef1ec0d4453145582.png)
можно выбрать отрезок сколь угодно малой длины
![$\varepsilon/x$ $\varepsilon/x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/e/64eb4a546c75c8e4a20bec9786d6339082.png)
такой, что разница значений функции
![$f(x)=x^2$ $f(x)=x^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/6/34607c685c1437600a3d82e6f30d7f1b82.png)
на концах отрезка будет больше
![$\varepsilon.$ $\varepsilon.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/8/f480c30a61097e5cb4f2e23ac3a67f3882.png)
В частности, на отрезке
![$\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)$ $\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/6/436ea605401222827a9c9ca9002ed16b82.png)
разница значений функции стремится к
![$2\varepsilon.$ $2\varepsilon.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/2/232d2c61bc1ef7f035425d5d9001ab1582.png)
Вопрос такой:
А откуда взялось
![$\frac{a}{x}$ $\frac{a}{x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/e/11ef1aa9c8bf71039205f62c2d82214882.png)
и откуда там предел взялся этот? Является ли это доказательство корректным (взято из Википедии, поэтому и спрашиваю). Доказывается не по определению равномерной сходимости, насколько я понимаю...
-- 21.11.2011, 02:13 --Например,
![$f(x)=x^{2}$ $f(x)=x^{2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/a/56af842aecaf502dae3d50481511cf6c82.png)
непрерывна на
![$\double{R}$ $\double{R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/a/61a215e5504eefcc37613c7c6dca098782.png)
но
![$f(x+\delta)-f(x)=(x+\delta)^{2}-x^2 \geqslant x \delta$ $f(x+\delta)-f(x)=(x+\delta)^{2}-x^2 \geqslant x \delta$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/6/556255bbfcdc4c97fde1e90984b8eb3082.png)
поэтому
![$\exists \varepsilon=1: \forall \delta \ \exists \ (1/\delta+\delta); \ 1/\delta: |f(1/\delta+\delta)-f(1/\delta)|>1$ $\exists \varepsilon=1: \forall \delta \ \exists \ (1/\delta+\delta); \ 1/\delta: |f(1/\delta+\delta)-f(1/\delta)|>1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/4/d44de498f4773fe22f0096d91486429082.png)
Как раз на тему этой функции задал вопрос) Сейчас попытаюсь понять то, что вы написали...