Проблема неполноты арифметики

[Nobody85]

Здравствуйте. Знаменитые теоремы Гёделя о неполноте утверждают, что формальная арифметика является неполной (т. е. в ней существуют невыводимые и неопровержимые формулы), и что её непротиворечивость не может быть доказана её средствами. Как Вы считаете, реально ли видоизменить систему аксиом арифметики так, чтобы она стала одновременно непротиворечивой и полной (а значит, и свою непротиворечивость могла доказать), и в то же время была пригодной для нужд математики, или же это невозможно сделать в принципе? Правда, саму математику при этом, видимо, тоже придётся несколько видоизменить, главное, чтобы при этом она сохранила свою полезность и соответствие окружающей действительности. Какие проблемы стоят на пути построения такой арифметики?

P.S. Извините, если вдруг подобная тема уже была.

[ewert]

Nobody85 в сообщении #505654 писал(а):

Как Вы считаете, реально ли видоизменить систему аксиом арифметики так, чтобы она стала одновременно непротиворечивой и полной

Вообще-то теоремы Гёделя (в современных формулировках) говорят не об именно арифметике, а о любой достаточно богатой теории. Т.е. желаемого Вами от арифметики если можно добиться, то обеднив её. Насколько это полезно для сельского хозяйства?...

[migmit]

ewert в сообщении #505659 писал(а):

Т.е. желаемого Вами от арифметики если можно добиться, то обеднив её. Насколько это полезно для сельского хозяйства?...

Сельскому хозяйству пофиг, а вот математика может что-то и выиграть. Во всяком случае, схожую проблему решает Total Functional Programming - языки TFP не Тьюринг-полны, зато обеспечивают гарантированное завершение, и при этом всё ещё достаточно богаты для практических целей.

[Someone]

migmit в сообщении #505699 писал(а):

математика может что-то и выиграть

Меньше теорем станет?

[Nobody85]

Да, действительно, а стоит ли обеднять арифметику (а значит, и математику в целом) только лишь ради достижения полноты и возможности доказать непротиворечивость арифметики? Является ли неполнота арифметики существенной математической проблемой, или это проблема, скорее, философии науки? Создаёт ли неполнота формальной арифметики какие-то серьёзные трудности в математике, и если да, то какие?

-- 20.11.2011, 21:19 --

Насколько я знаю, проблема непротиворечивости арифметики включена в знаменитый список проблем Гильберта (вторая проблема Гильберта), и является нерешённой. Указывает ли всё это на важность для науки решения этой проблемы?

[migmit]

Someone в сообщении #505832 писал(а):

migmit в сообщении #505699 писал(а):

математика может что-то и выиграть

Меньше теорем станет?

Теорем — может, и меньше; метатеорем — больше.

[ewert]

migmit в сообщении #505941 писал(а):

метатеорем — больше.

А что они дадут для сельского хозяйства?...

[Mega Sirius12]

назовите мне хоть одно утверждение, не выводимое средствами арифметики

[Xaositect]

Mega Sirius12 в сообщении #505998 писал(а):

назовите мне хоть одно утверждение, не выводимое средствами арифметики

http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem

[Mega Sirius12]

а я по-английски нифирнштейн

[Maslov]

Mega Sirius12 в сообщении #506007 писал(а):

а я по-английски нифирнштейн

Теорема Гудстейна

[Mega Sirius12]

и че-возьмем арифметику бесконечномерного порядка и докажет в ней все утверждения

[Someone]

Mega Sirius12 в сообщении #506013 писал(а):

возьмем арифметику бесконечномерного порядка

Проблема в том, что никто, кроме Вас, не знает, что такое "арифметика бесконечномерного порядка".

[Mega Sirius12]

ну есть арифметики двойного-тройного порядка
по идее можно взять и построить арифметику энного порядка
и предельным переходом устремить в бесконечность

[Someone]

Ну, видите ли, проблему можно "решить" и в теории первого порядка: взять арифметику Пеано, перечислить все её утверждения (как истинные, так и ложные; это можно сделать сравнительно несложным алгоритмом), потом поочерёдно разобраться со всеми утверждениями: если очередное утверждение и его отрицание не доказуемы, то одно из них добавить в качестве аксиомы. Беда в том, что список аксиом получается не перечислимым: не существует алгоритма, перечисляющего все аксиомы и не перечисляющего заодно ничего лишнего (список аксиом арифметики Пеано перечислим). Таким списком, который мы даже составить не можем, пользоваться весьма затруднительно.

Mega Sirius12 в сообщении #506016 писал(а):

ну есть арифметики двойного-тройного порядка

Вообще-то, не "двойного" и не "двумерного", а "второго". Про арифметику третьего порядка я не слышал, но я в этой области не специалист.