2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Проблема неполноты арифметики
Сообщение20.11.2011, 14:13 
Здравствуйте. Знаменитые теоремы Гёделя о неполноте утверждают, что формальная арифметика является неполной (т. е. в ней существуют невыводимые и неопровержимые формулы), и что её непротиворечивость не может быть доказана её средствами. Как Вы считаете, реально ли видоизменить систему аксиом арифметики так, чтобы она стала одновременно непротиворечивой и полной (а значит, и свою непротиворечивость могла доказать), и в то же время была пригодной для нужд математики, или же это невозможно сделать в принципе? Правда, саму математику при этом, видимо, тоже придётся несколько видоизменить, главное, чтобы при этом она сохранила свою полезность и соответствие окружающей действительности. Какие проблемы стоят на пути построения такой арифметики?

P.S. Извините, если вдруг подобная тема уже была.

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение20.11.2011, 14:25 
Nobody85 в сообщении #505654 писал(а):
Как Вы считаете, реально ли видоизменить систему аксиом арифметики так, чтобы она стала одновременно непротиворечивой и полной

Вообще-то теоремы Гёделя (в современных формулировках) говорят не об именно арифметике, а о любой достаточно богатой теории. Т.е. желаемого Вами от арифметики если можно добиться, то обеднив её. Насколько это полезно для сельского хозяйства?...

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение20.11.2011, 16:02 
ewert в сообщении #505659 писал(а):
Т.е. желаемого Вами от арифметики если можно добиться, то обеднив её. Насколько это полезно для сельского хозяйства?...

Сельскому хозяйству пофиг, а вот математика может что-то и выиграть. Во всяком случае, схожую проблему решает Total Functional Programming - языки TFP не Тьюринг-полны, зато обеспечивают гарантированное завершение, и при этом всё ещё достаточно богаты для практических целей.

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение20.11.2011, 19:41 
Аватара пользователя
migmit в сообщении #505699 писал(а):
математика может что-то и выиграть
Меньше теорем станет?

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение20.11.2011, 22:09 
Да, действительно, а стоит ли обеднять арифметику (а значит, и математику в целом) только лишь ради достижения полноты и возможности доказать непротиворечивость арифметики? Является ли неполнота арифметики существенной математической проблемой, или это проблема, скорее, философии науки? Создаёт ли неполнота формальной арифметики какие-то серьёзные трудности в математике, и если да, то какие?

-- 20.11.2011, 21:19 --

Насколько я знаю, проблема непротиворечивости арифметики включена в знаменитый список проблем Гильберта (вторая проблема Гильберта), и является нерешённой. Указывает ли всё это на важность для науки решения этой проблемы?

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение20.11.2011, 23:28 
Someone в сообщении #505832 писал(а):
migmit в сообщении #505699 писал(а):
математика может что-то и выиграть
Меньше теорем станет?

Теорем — может, и меньше; метатеорем — больше.

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 00:45 
migmit в сообщении #505941 писал(а):
метатеорем — больше.

А что они дадут для сельского хозяйства?...

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 01:08 
назовите мне хоть одно утверждение, не выводимое средствами арифметики

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 01:17 
Аватара пользователя
Mega Sirius12 в сообщении #505998 писал(а):
назовите мне хоть одно утверждение, не выводимое средствами арифметики

http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 01:22 
а я по-английски нифирнштейн

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 01:29 
Mega Sirius12 в сообщении #506007 писал(а):
а я по-английски нифирнштейн
Теорема Гудстейна

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 01:31 
и че-возьмем арифметику бесконечномерного порядка и докажет в ней все утверждения

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 01:33 
Аватара пользователя
Mega Sirius12 в сообщении #506013 писал(а):
возьмем арифметику бесконечномерного порядка
Проблема в том, что никто, кроме Вас, не знает, что такое "арифметика бесконечномерного порядка".

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 01:35 
ну есть арифметики двойного-тройного порядка
по идее можно взять и построить арифметику энного порядка
и предельным переходом устремить в бесконечность

 
 
 
 Re: Проблема неполноты арифметики
Сообщение21.11.2011, 01:48 
Аватара пользователя
Ну, видите ли, проблему можно "решить" и в теории первого порядка: взять арифметику Пеано, перечислить все её утверждения (как истинные, так и ложные; это можно сделать сравнительно несложным алгоритмом), потом поочерёдно разобраться со всеми утверждениями: если очередное утверждение и его отрицание не доказуемы, то одно из них добавить в качестве аксиомы. Беда в том, что список аксиом получается не перечислимым: не существует алгоритма, перечисляющего все аксиомы и не перечисляющего заодно ничего лишнего (список аксиом арифметики Пеано перечислим). Таким списком, который мы даже составить не можем, пользоваться весьма затруднительно.

Mega Sirius12 в сообщении #506016 писал(а):
ну есть арифметики двойного-тройного порядка
Вообще-то, не "двойного" и не "двумерного", а "второго". Про арифметику третьего порядка я не слышал, но я в этой области не специалист.

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group