Неинерциальные системы отсчёта в СТО

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #505691 писал(а):

Не понял, почему?

Ну если $ \begin{matrix} y^0= x^1 \sh \x^0 \\ y^1 = x^1 \ch x^0 \end{matrix} $, то координатные линии $x^1=const$ образуют семейство гипербол $ {y^1}^2 - {y^0}^2 = C^2 $, с ассимптотами $ y^1= \pm y^0 $ и семейство гипербол лежит в области $-y^1 < y^0 <y^1 $, а там как $ y^1 = \cfrac{v}{c} y^0 $ и $ \cfrac{v}{c}<1 $ и проходит через $ (0,0)$, то она полностью лежит в этой области.

Munin в сообщении #505691 писал(а):

И всё-таки, возьмите траекторию вида $y^1=1.$

Беру, допустим $ \begin{matrix} y^0= x^1 \sh \x^0 \\ y^1 = x^1 \ch x^0 \end{matrix}$, тогда $ x^1 \sh x^0 = 1 $, откуда $ x^1 = \cfrac{1}{\sh x^0}=\cfrac{2}{e^{ct}-e^{-ct}} \approx\cfrac{2}{1+ct -(1 - ct)} \approx \cfrac{1}{ct} $.

Munin в сообщении #505691 писал(а):

Вы лучше покажите, как от уравнения геодезической дальше к вашему дифуру переходите. Сейчас мне кажется, что там ошибка.

Ну беру уравнение $ \cfrac{d u^n}{ds}+\Gamma^n_{ij} u^i u^j=0 $, далее для пространственной координаты $ \cfrac{d u^1}{ds} + \Gamma^1_{ij} u^i u^j= \cfrac{du^1}{ds} + \Gamma^1_{00} u^0 u^0 + 2 \Gamma^1_{01} u^0 u^1 + \Gamma^1_{11} u^1 u^1 $, беря рассчитанные мной символы Кристофеля $ \cfrac{du^1}{ds}=-x^1 u^0 u^0 - 0 u^1 u^0 -0 u^1 u^1 = -x^1 u^0 u^0 $, далее $ \cfrac{d}{ds}=\cfrac{d}{dx^0 \sqrt{1- \cfrac{v^2}{c^2}} } $, значит $ \cfrac{d u^1}{ds}=\cfrac{du^1}{dx ^0 \sqrt{1- \cfrac{v^2}{c^2}}}= \cfrac{d}{dx^0} \cfrac{d x^1}{ds} \cfrac{1}{\sqrt{1- \cfrac{v^2}{c^2}}} = \cfrac{d^2 x^1}{{dx^0}^2} \cfrac{1}{1- \cfrac{v^2}{c^2}}= -x^1 \cfrac{1}{1- \cfrac{v^2}{c^2}} $

[Munin]

У вас корень не по ту сторону дифференциала. $dt=\gamma\,ds,$ так что $d/ds=\gamma\,d/dt,$ и 4-ускорение имеет компоненты
$w=\dfrac{d}{ds}(\gamma,\gamma v)=\gamma\Bigl(\dfrac{d}{dt}\gamma,\dfrac{d}{dt}(\gamma v)\Bigr).$
Далее
$\dfrac{d}{dt}(\gamma v)=v\dfrac{d}{dt}\gamma+\gamma\dfrac{d}{dt}v,$
причём первое слагаемое удобно не раскрывать, а подставить из уравнения геодезической для временной координаты.

-- 20.11.2011 18:30:36 --

EvilPhysicist в сообщении #505707 писал(а):

координатные линии $x^1=const$

Вас интересуют $y^1=\mathrm{const}.$ В координатах Минковского геодезическая - инерциальное движение по прямой.

EvilPhysicist в сообщении #505707 писал(а):

откуда $ x^1 = \cfrac{1}{\sh x^0}=\cfrac{2}{e^{ct}-e^{-ct}} \approx\cfrac{2}{1+ct -(1 - ct)} \approx \cfrac{1}{ct} $.

Что это за "приблизительно равно" такие?

Кстати, почему у вас время оказалось координатой 1, а не 0? Специально сами себя запутываете? Вам не хватает того, что у вас минковские координаты (более естественные) обозначены как $y,$ а риндлеровские (менее естественные) как $x?$

[EvilPhysicist]

Только что понял, я там действительно не так коэффициенты Кристофеля посчитал.
$ \cfrac{d g_{ij}}{dx^0}=0, \quad \cfrac{d g_{ij}}{dx^1} = \begin{pmatrix} -2 x^1 u^1 & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \Gamma^1_{00}=\cfrac12 g^{1k} \left( \underbrace{g_{0k,0}}_{=0} + \underbrace{g_{k0,0}}_{=0} - g_{00,k} \right)=\frac12 \underbrace{g^{10}}_{=0} \underbrace{g_{00,0}}_{=0} + \frac12 g^{11} (- g_{00,1} )= -\frac12 1 (-2 x^1 u^1)=x^1 u^1 $

Munin в сообщении #505760 писал(а):

У вас корень не по ту сторону дифференциала

Ну то есть если переписать правильно, то $ \cfrac{du^1}{ds}= \gamma^2 \cfrac{d^2 x^1}{{dx^0}^2} = - x^1 u^1 u^0 u^0 = - x^1 \gamma \cfrac{dx^1}{dx^0} \gamma^2 $ и нужное уравнение $ \cfrac{1}{c^2} \cfrac{dv}{dt} = - x v \gamma $

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #505765 писал(а):

Ну то есть если переписать правильно, то $ \cfrac{du^1}{ds}= \gamma^2 \cfrac{d^2 x^1}{{dx^0}^2}\ldots$

$w^1=\gamma\dfrac{d}{dt}(\gamma v)=\gamma v\dfrac{d}{dt}\gamma+\gamma^2\dfrac{d}{dt}v\ne\gamma^2\dfrac{d}{dt}v$

-- 20.11.2011 23:42:40 --

EvilPhysicist в сообщении #505765 писал(а):

Только что понял, я там действительно не так коэффициенты Кристофеля посчитал

Ох, пересчитывайте до тех пор, пока у вас результаты воспроизводимые не станут получаться :-) Точно скажу: $u^1$ в символы Кристоффеля входить не могут, поскольку они должны быть просто функцией координат.

[Утундрий]

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #505548 писал(а):

Ну и по этому вопрос: я что-то делаю не правильно?

Если не удержусь и выскажу всё что я думаю по этому поводу - меня забанят...