Неинерциальные системы отсчёта в СТО

[EvilPhysicist]

Собственно, хотел получть силы инерции и Кориолиса изходя из принципа наименьшего действия в СТО.
Я получил уравнения движения $ \cfrac{\partial u^i}{\partial s}=g^{ik} u^i u^j \left( \cfrac12 \cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} - \cfrac{g_{ik}}{x^j} \right) $ Но возникла проблема записи их в явном виде даже для простого случая.

Берём $ \mathbb R^2 $ с $ y^i $ - Инерциальной СО, $ x^i $ - неинерциальной ИСО, которые связаны как $ \begin{matrix} y^0=(x^0 - vx^1) \gamma \\ y^1=(x^1 - vx^0) \gamma \end{matrix} $, где $ v=u+a y^0, \quad u,a=const $. Тогда, чтобы рассчитать метрическую матрицу в неинерциальной ИСО надо выразить $ dy^1, dy^2 $ и подставить в $ \left( dy^0 \right)^2 - \left( dy^1 \right)^2 $, но $ dy^0=(1-a \gamma x^1 + a v \gamma^3 ( x^0 -v x^1))(dx^0 -v dx^1) $ и $ dy^1=(1+ av \gamma x^0 - (x^1-vx^0) av^2 \gamma^3) \gamma dx^1 - (a \gamma x^0 - a v \gamma x^0 - ( x^1 - v x^0) av \gamma^3 ) \gamma dx^0 $, что довольно трудно посчитать.

Так вот, нету ли более простого способа это вычислить и не ошибаюсь ли я?

[Munin]

Неинерциальные системы координат требуют матаппарата не СТО, а ОТО (хотя применяться могут и в физической ситуации СТО - в плоском пространстве-времени Минковского). Там из связи систем координат вы находите метрические тензоры и коэффициенты Кристоффеля, а уже последние входят в уравнения движения, и вызывают появление всех сил инерции (в принцип наименьшего действия входит только метрический тензор, коэффициенты Кристоффеля появляются только при варьировании). Основы техники - в 10 главе Ландау-Лифшица.

[EvilPhysicist]

Ну я собственно, что вы сказали и сделал.
Только уравнения движения переписал сюда с ошибкой, должно быть $ \cfrac{\partial u^i}{\partial s}=g^{ik} u^i u^j \left( \cfrac12 \cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} - \cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^j} \right) $

[epros]

EvilPhysicist в сообщении #495605 писал(а):

должно быть $ \cfrac{\partial u^i}{\partial s}=g^{ik} u^i u^j \left( \cfrac12 \cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^k} - \cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^j} \right) $

Что-то у Вас в правой части индекс $i$ в верхней позиции встречается дважды. Что бы это значило?

-- Пн окт 24, 2011 14:45:45 --

EvilPhysicist в сообщении #495372 писал(а):

Так вот, нету ли более простого способа это вычислить ... ?

Вопрос, что "это"? Если Вы хотите получить точную формулу для ускорений, то ничего точнее, чем

$\frac{\partial u^i}{\partial s} = - u^j u^k \Gamma^{i}_{j k}$,

Вы не получите (собственно, примерно то же самое Вы уже выписали).

Если же Вы хотите получить аналоги сил инерции в классическом пределе, то Вам и нужно сразу переходить к классическому пределу. Например, ускорение свободного падения в классическом пределе рассматривается для неподвижного тела: $u^0 = 1$, $u^{\alpha} = 0$. Подставляете в вышеуказанную формулу и сразу видите, чему оно соответствует:

$\frac{d v^{\alpha}}{d t} = - \Gamma^{\alpha}_{0 0}$

И т.д.

[Munin]

EvilPhysicist
В выражении $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ через $g^{\mu\nu}$ три слагаемых, у вас максимум два. Где-то ошибка.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #495681 писал(а):

Где-то ошибка.

epros в сообщении #495614 писал(а):

Что-то у Вас в правой части индекс $i$ в верхней позиции встречается дважды. Что бы это значило?

Да, я нашёл уже.
Но всё равно, там даже для простейшего случая, когда одна система с ускорением движется по прямой, относительно другой, получаются довольно-таки длинные уравнения. И как я понимаю простого способа решить их нет.
И кто-нибудь где-нибудь выводил силы инерции так, как хочу это сделать я?

[Утундрий]

EvilPhysicist в сообщении #495684 писал(а):

И кто-нибудь где-нибудь выводил силы инерции так, как хочу это сделать я?

Вы помните, что ответил Иван Васильевич Грозный на реплику режиссера Якина?

[EvilPhysicist]

Что-то я погаричился, что-то не получается вывести уравнения движения.
Вот варьирую интервал $\delta S=\delta\sqrt{g_{ij}dx^{i}dx^{j}}=\cfrac{1}{2dS}\left(\cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}dx^{i}dx^{k}\delta x^{k}+g_{ij}d\delta x^{i}dx^{j}+g_{ij}dx^{i}d\delta x^{j}\right)= \cfrac12 \left(\cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}u^{i}u^{j}\delta x^{k}dS+g_{ij}d\delta x^{i}u^{j}dS+g_{ij}u^{i}d\delta x^{k}dS \right)$
Подставляю в действие $ \delta S =-mc \delta \int\limits_a^b dS=0 \Rightarrow \int\limits_a^b \left(\cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}u^{i}u^{j}\delta x^{k}dS+g_{ij}d\delta x^{i}u^{j}dS+g_{ij}u^{i}d\delta x^{о}dS \right) =0 $
Интегрирую части с $ d \delta x^i, \quad d \delta x^j $ по частям и перенося части с производными по скоростям
$ \int\limits_a^b \cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}u^{i}u^{j}\delta x^{k}dS-\cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}u^{j}u^{k}\delta x^{i}dS-\cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}u^{i}u^{k}\delta x^{j}=\int\limits_a^b g_{ij}\cfrac{\partial u^{j}}{\partial S}dS\delta x^{i}+g_{ij}\cfrac{\partial u^{i}}{\partial S}dS\delta x^{j} $
Далее во втором слагемом в левой части, соответсвенно в первом в правой, меняю местами индексы $k$ и $i$. В третьем слева, соответсвенно во втором справа, меняю индексы $k$ и $j$ получаю
$ \int\limits_a^b \left(\cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}-\cfrac{\partial g_{kj}}{\partial x^{i}}-\cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}\right)u^{i}u^{j}dS\delta x^{k}=\int\limits_a^b \left(g_{kj}\cfrac{\partial u^{j}}{dS}+g_{ik}\cfrac{\partial u^{i}}{\partial S}\right)dS\delta x^{k} $
Далее в слу произвольности $ \delta x^k $ снимаю интегралы и получаю
$ \left(\cfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}-\cfrac{\partial g_{kj}}{\partial x^{i}}-\cfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}\right)u^{i}u^{j}=g_{kj}\cfrac{\partial u^{j}}{dS}+g_{ik}\cfrac{\partial u^{i}}{\partial S} $
И осбственно левая часть такая, какая надо, но не понятно, как сделать одинаковые индексы у производных скоростей в правой части.

Утундрий в сообщении #495711 писал(а):

Вы помните, что ответил Иван Васильевич Грозный на реплику режиссера Якина?

Честно, не помню. Да и реплик у них там было много.

[Утундрий]

EvilPhysicist
$\[ \begin{gathered} \delta \int {ds} = \delta \int {\left( {ds^2 } \right)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} } = \int {\frac{1} {{2ds}}} \delta \left( {ds^2 } \right) = \int {\frac{1} {{2ds}}} \delta \left( {g_{\alpha \beta } dx^\alpha dx^\beta } \right) = \hfill \\ = \int {\left( {\frac{1} {2}\delta g_{\alpha \beta } u^\alpha u^\beta + g_{\alpha \beta } u^\alpha \frac{d} {{ds}}\delta x^\beta } \right)} ds = \left. {u_\beta \delta x^\beta } \right| + \int {\left( {\frac{1} {2}g_{\alpha \beta ,\sigma } u^\alpha u^\beta - \frac{d} {{ds}}\left( {g_{\alpha \sigma } u^\alpha } \right)} \right)} \delta x^\sigma ds \hfill \\ \Rightarrow \hfill \\ \frac{1} {2}g_{\alpha \beta ,\sigma } u^\alpha u^\beta - \frac{d} {{ds}}\left( {g_{\alpha \sigma } u^\alpha } \right) = 0 \hfill \\ \Rightarrow \hfill \\ g_{\alpha \sigma } \frac{{du^\alpha }} {{ds}} = \left( {\frac{1} {2}g_{\alpha \beta ,\sigma } - g_{\alpha \sigma ,\beta } } \right)u^\alpha u^\beta = - \Gamma _{\sigma \alpha \beta } u^\alpha u^\beta \hfill \\ \Rightarrow \hfill \\ \frac{{du^\mu }} {{ds}} + \Gamma _{\alpha \beta }^\mu u^\alpha u^\beta = 0 \hfill \\ \end{gathered} \] $

[EvilPhysicist]

Что-то мне думалось, что символ Крисофеля $ \Gamma_{ij}^k=\cfrac12 g^{kn} \left( g_{in,j} +g_{jn,i} - g_{ij,n} \right) $, а у вас он $ \Gamma_{kij}= \cfrac12 ( 2 g_{ik,j} - g_{ij,k}) $ и что-то мне не очень понятно, как вы его так получили.

[Утундрий]

EvilPhysicist в сообщении #495731 писал(а):

что-то мне не очень понятно, как вы его так получили.

$\[ a_{\mu \nu } b^\mu b^\nu = ? \] $

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #495684 писал(а):

И кто-нибудь где-нибудь выводил силы инерции так, как хочу это сделать я?

Это элементарное студенческое упражнение. Я в своё время точно проделывал. Черновиков не сохранилось :-) Воспроизводить лень. Насчёт трёх слагаемых я погорячился.

[EvilPhysicist]

Утундрий в сообщении #495784 писал(а):

$\[ a_{\mu \nu } b^\mu b^\nu = ? \] $

$ a_{\mu \nu } b^\mu b^\nu = \sum\limits_{\mu=1}^n \sum\limits_{\nu=1}^n a_{\nu \mu} b^\mu b^\nu = a_{11} (b^1)^2 + a_{22} (b^2)^2 + ... + a_{nn} (b^n)^2 + 2 a_{12} b^1 b^2 + ... $, вы это имели в виду?

-- 25.10.2011, 09:35 --

Или вы имели в виду то, что в $g_{in,j}$ индексы $i$ и $j$ немые, по этому их можно поменять местами? Что я собственно и сделал в самом начале, ошибшись с коэффициентами.

[Munin]

Дело не в этом, а в том, что одноиндексные множители совпадают, так что их тоже можно менять местами. При этом выражение будет того же вида, только индексы у двухиндексного множителя будут переставлены (как при транспонировании матрицы).

[EvilPhysicist]

Ну если так, то тогда, как и нужно получается $ \cfrac{\partial u^n}{\partial s} +\Gamma^n_{ij} u^i u^j =0 $