2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Для последовательности найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:42 
Аватара пользователя


18/11/11
54
$x_n=1+\frac{n}{n+1}\cos{\frac{\pi n}2}$
Как рассуждать? Видно, что знак второго слагаемого зависит от косинуса:0,-1,0,1,0-1,... у сомножителя косинуса числитель всегда на единицу меньше знаменателя, но он то отнимается от единицы, то прибавляется. Вычитаемое никогда не станет больше, либо меньше единицы. Интуитивно можно сказать, что $\sup{x_{n}}=2, \inf{x_{n}}=0.$ Как доказать строго?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Давайте так. Вам навстречу попадается какой-то баран и говорит:
- Инфинум будет минус сто!
Можете опровергнуть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:47 
Аватара пользователя


18/11/11
54
Да, второе слагаемое никогда не примет значение -101.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
shady в сообщении #505789 писал(а):
Вычитаемое никогда не станет больше, либо меньше единицы.

Т.е. Вы формально доказали, что все члены лежат в интервале от нуля до двойки. Теперь просто подберите две подпоследовательности (вполне очевидных), по одной из которых предел существует и равен двойке, по другой -- существует и равен нулю.

-- Вс ноя 20, 2011 19:50:34 --

shady в сообщении #505796 писал(а):
Да, второе слагаемое никогда не примет значение -101.

А при чём тут инфимум?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
shady в сообщении #505796 писал(а):
Да, второе слагаемое никогда не примет значение -101.

Так, допустим. А значение -1 оно что, примет? Когда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:54 
Аватара пользователя


18/11/11
54
ИСН в сообщении #505800 писал(а):
shady в сообщении #505796 писал(а):
Да, второе слагаемое никогда не примет значение -101.

Так, допустим. А значение -1 оно что, примет? Когда?

Никогда!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Так. Тогда чем докажете, что именно 0 - точная нижняя грань?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:59 
Аватара пользователя


18/11/11
54
ИСН в сообщении #505805 писал(а):
Так. Тогда чем докажете, что именно 0 - точная нижняя грань?


Тем, что $1>\frac{n}{n+1}\cos{\frac{\pi n}2}$ всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Но то же самое можно сказать про 100.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 19:02 
Аватара пользователя


18/11/11
54
Да, можно и про 10000000 и про -1000000000 и это будет верно, но инфимум это наибольшая из нижних границ, и супремум наименьшая по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 19:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
shady в сообщении #505809 писал(а):
ИСН в сообщении #505805 писал(а):
Так. Тогда чем докажете, что именно 0 - точная нижняя грань?
Тем, что $1>\frac{n}{n+1}\cos{\frac{\pi n}2}$ всегда.

А при чём тут нижняя грань?... (а вопрос, почему это ещё и грань -- это уж потом, потом)

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ну типа того.
Я бы сказал как-то так: "Для любого $\alpha>0$ найдём такое n, что... [оно обломает нам всю малину и станет ясно, что это не грань]"

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 19:11 
Аватара пользователя


18/11/11
54
Но ведь можно сказать, что и -100 и 100 ограничивают пос-ть, но это не инфимум и супремум по определению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Для пос-ти найти inf и sup.
Сообщение20.11.2011, 19:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Вообще-то слова инфимум и супремум к последовательности не применимы. Можно лишь говорить об инфимуме или супремуме множества членов последовательности; но они сами по себе практически никогда и никому не интересны. Интерес представляют лишь верхний и нижний пределы. Слава Аллаху, сотворившему сию задачку такой, что в ней это одно и то же!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group