Для последовательности найти inf и sup.

[shady]

$x_n=1+\frac{n}{n+1}\cos{\frac{\pi n}2}$
Как рассуждать? Видно, что знак второго слагаемого зависит от косинуса:0,-1,0,1,0-1,... у сомножителя косинуса числитель всегда на единицу меньше знаменателя, но он то отнимается от единицы, то прибавляется. Вычитаемое никогда не станет больше, либо меньше единицы. Интуитивно можно сказать, что $\sup{x_{n}}=2, \inf{x_{n}}=0.$ Как доказать строго?

[ИСН]

Давайте так. Вам навстречу попадается какой-то баран и говорит:
- Инфинум будет минус сто!
Можете опровергнуть?

[shady]

Да, второе слагаемое никогда не примет значение -101.

[ewert]

shady в сообщении #505789 писал(а):

Вычитаемое никогда не станет больше, либо меньше единицы.

Т.е. Вы формально доказали, что все члены лежат в интервале от нуля до двойки. Теперь просто подберите две подпоследовательности (вполне очевидных), по одной из которых предел существует и равен двойке, по другой -- существует и равен нулю.

-- Вс ноя 20, 2011 19:50:34 --

shady в сообщении #505796 писал(а):

Да, второе слагаемое никогда не примет значение -101.

А при чём тут инфимум?...

[ИСН]

shady в сообщении #505796 писал(а):

Да, второе слагаемое никогда не примет значение -101.

Так, допустим. А значение -1 оно что, примет? Когда?

[shady]

ИСН в сообщении #505800 писал(а):

shady в сообщении #505796 писал(а):

Да, второе слагаемое никогда не примет значение -101.

Так, допустим. А значение -1 оно что, примет? Когда?

Никогда!)

[ИСН]

Так. Тогда чем докажете, что именно 0 - точная нижняя грань?

[shady]

ИСН в сообщении #505805 писал(а):

Так. Тогда чем докажете, что именно 0 - точная нижняя грань?

Тем, что $1>\frac{n}{n+1}\cos{\frac{\pi n}2}$ всегда.

[ИСН]

Но то же самое можно сказать про 100.

[shady]

Да, можно и про 10000000 и про -1000000000 и это будет верно, но инфимум это наибольшая из нижних границ, и супремум наименьшая по определению.

[ewert]

shady в сообщении #505809 писал(а):

ИСН в сообщении #505805 писал(а):

Так. Тогда чем докажете, что именно 0 - точная нижняя грань?

Тем, что $1>\frac{n}{n+1}\cos{\frac{\pi n}2}$ всегда.

А при чём тут нижняя грань?... (а вопрос, почему это ещё и грань -- это уж потом, потом)

[ИСН]

Ну типа того.
Я бы сказал как-то так: "Для любого $\alpha>0$ найдём такое n, что... [оно обломает нам всю малину и станет ясно, что это не грань]"

[shady]

Но ведь можно сказать, что и -100 и 100 ограничивают пос-ть, но это не инфимум и супремум по определению?

[ewert]

(Оффтоп)

Вообще-то слова инфимум и супремум к последовательности не применимы. Можно лишь говорить об инфимуме или супремуме множества членов последовательности; но они сами по себе практически никогда и никому не интересны. Интерес представляют лишь верхний и нижний пределы. Слава Аллаху, сотворившему сию задачку такой, что в ней это одно и то же!