Компактное подпространство прямой Зоргенфрея

[xmaister]

Здравствуйте!
Требуется доказать, что каждое компактное подпространство прямой Зоргенфрея счётно.
Понятно, что каждое компактное подпространство в прямой Зоргенфрея- замкнутое множество. Там дано указание, что нужно воспользоваться тем, что каждое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства на хаусдорфова пространство- гомеоморфизм. Я думаю предположить, что существует несчётный, но с чем должно получится противоречие- непонимаю.

[Someone]

Базу топологии прямой Зоргенфрея $Z$ образуют полуинтервалы $[a,b)$, поэтому компактное подмножество $Z$ не может содержать бесконечных возрастающих последовательностей. Я бы попробовал доказать, что каждое несчётное подмножество на прямой содержит такую последовательность.

[xmaister]

Someone
Т.е. последовательность вместе с пределом будет компактом. Но я не понимаю, как доказать, что не будет компактов большей мощности.

[Someone]

Ни фига Вы не поняли. Посмотрите внимательнее на топологию прямой Зоргенфрея: бесконечная возрастающая последовательность является замкнутым множеством и не компактна. Поэтому компактное подмножество прямой Зоргенфрея не может содержать таких последовательностей. Докажите, что каждое несчётное подмножество прямой Зоргенфрея содержит бесконечную возрастающую последовательность.

[xmaister]

Рассмотрим несчётное множество $A$. Существует точка $a_0\in A$ справа от которой лежит несчётное множество точек, принадлежащих $A$. Значит существует последовательность, лежащая в $A$. А т.к. $A$- компакт, то всякое замкнутое множество вместе со сходящейся последовательностью содержит её предел, отсюда следует, что каждое несчётное множество содержит последовательность вместе с передел, а значит оно не является компактом.
Так верно будет?

[Someone]

Что-то я даже не пойму, что Вы написали. Раньше Вы лучше рассуждали. Наличие какой-то последовательности криминалом не является. Криминалом является наличие последовательности, не имеющей предела в топологии Зоргенфрея.

[xmaister]

Так из того, что во всяком несчётном множестве содержится возрастающая последовательность вместе с пределом следует, что оно не компактно, разве нет?

[Someone]

Конечно, нет. В отрезке с обычной топологией полно сходящихся последовательностей "вместе с пределом", однако он компактен.

[xmaister]

Someone в сообщении #505242 писал(а):

сходящихся последовательностей

Возрастающих последовательностей.

[Someone]

В том числе и возрастающих.

В топологии Зоргенфрея, в отличие от обычной топологии числовой прямой, возрастающая последовательность не имеет предела, на этом и строится доказательство.

[xmaister]

Не понимаю, ведь всякая последовательность это направленность, а в хаусдорфовом пространстве она имеет не более одного предела. Он же вроде существует по определению предела направленности.

[Someone]

Возьмите возрастающую последовательность, например, $a_n=-\frac 1n$, и попробуйте доказать, что в топологии Зоргенфрея она имеет предел.

[xmaister]

Не имеет, т.к. для окрестности $[0,a)$ не существует $n_0$, такого что, $a_n\in [0,a)$ для любого $n\ge n_0$. Подумаю ещё.

[Someone]

Правильно. Более того, эта последовательность вообще не имеет предельных точек. Поэтому она не может содержаться в компактном подмножестве прямой Зоргенфрея. Надеюсь, это понятно?

Если понятно, то следующая задача - доказать, что каждое несчётное подмножество прямой Зоргенфрея обязательно содержит возрастающую последовательность.

[xmaister]

Someone
Пусть $A$- несчётно. Я пытаюсь доказать, что существует $a\in A$, такой что справа от него лежит несчётное $B_a=\{b|b\in A, b>a\}$ подмножество $A$. Предполагаю обратное, т.е. для любого $a\in A$ $|B_a|\le\aleph_0$. Но как из этого получить, что $A$- счётно, я не понимаю.