Ограниченность части выпуклого множества

[chezare]

Есть выпуклое множество $E$. Берется точка его границы, и с центром в ней проводится окружность $F$. Затем натягивается выпуклая оболочка $G$ на старое множество в объединении с этой окружностью. Нужно доказать, что $G\setminus (E\cup F)$ ограничено.

[ИСН]

Полуплоскость сойдёт за выпуклое множество?

[chezare]

Нет. Оно строго выпуклое. Местами.

Моя ошибка.

[ИСН]

Кусок плоскости, отхваченный одной веткой гиперболы, сойдёт за строго выпуклое множество?

[chezare]

Да. Неограниченность исходного множества все портит. И, видимо, примеров сродни гиперболе можно состряпать кучу. Ну, а в хорошем случае, как все-таки показать?

[svv]

Но если хороший случай -- это случай ограниченного $E$, тогда тривиально.

[chezare]

С ограниченным - да. Но если у нас хорошее неограниченное, как на рисунке

[svv]

А мы, кстати, ещё не знаем, хорошее оно или нет. Ветви границы еще вполне могут асимптотически стремиться к прямым (только неортогональным), как гипербола, и тогда достаточно взять окружность соответствующего радиуса (побольше, чем на картинке) -- и всё, опять ситуация, описанная ИСН.

-- Чт ноя 17, 2011 17:15:38 --

Интуитивно кажется, что критерий "хорошести" неограниченного множества такой. Предел угла наклона одной ветви равен пределу угла наклона другой ветви (ну, может, с какими-то уточнениями). Представьте параболу $y=x^2$ -- у нее обе ветви стремятся к вертикали.

-- Чт ноя 17, 2011 17:16:46 --

Нет, это неправильно, уже придумал контрпример. Может, тогда отсутствие асимптот?

[chezare]

Асимптоты точно все портят. Не могу пока сообразить, есть ли еще ограничения.

Ну, а для таких хороших, которые без асимптот, есть возможность доказать ограниченность?

[Circiter]

Ну наверное можно как-нибудь записать символьное уравнение на точки касания этих ваших отрезочков $\text{АБ}$ с границей исходного выпуклого множества. Заодно получится записать условия на "конечность" этих точек, точнее говоря, их координат (война с асимптотами, может там как-нибудь через предел записать получится). Эти точки вместе с точками касания к кругу $F$ дают трапецию $T$, причем $G\setminus(E\cup F)\subset T$. Раз трапеция ограничена (из-за конечности координат вершин), то и её подмножества ограничены.

Выпуклость даст только существование такой трапеции. А вообще какую роль играет выпуклость в исходной задаче -- непонятно. Впрочем, кажется, если круг лежит, например, в овраге между двумя бесконечными псевдоподиями невыпуклого множества, то тогда вполне понятно.

Ещё не совсем ясны размеры круга $F$ -- они могут быть значительно большими самого множества?

-- Пт ноя 18, 2011 20:50:58 --

Не пробовали привлечь как-нибудь понятие поляры? Там вроде-бы есть куча теоремок про всякие ограниченности, вдруг пригодится...