Астроида

[samuil]

alcoholist в сообщении #504486 писал(а):

Надеюсь, понятно, почему касательная к кривой $x(t)$, $y(t)$ имеет уравнение

$$ \frac{x-x(t)}{x'(t)}=\frac{y-y(t)}{y'(t)}? $$

Теперь понятно, это уравнение прямой с направляющим вектором, координаты которого -- производные и проходящей через точку $\Big(x(t);y(t)\Big)$
Насколько я понял, что вектор касательной, когда прямая задана параметрически -- это всегда вектор из производных?

alcoholist в сообщении #504486 писал(а):

Значение $t$ однозначно определяет точку на кривой, тогда как значение $x$ (вот, в случае $x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$, например) -- нет!

Ок, а алгебраически это как-то можно объяснить?! Меня просто взрывает такая запись $y'(x)=f(t)$!!!!

[alcoholist]

samuil в сообщении #504491 писал(а):

Насколько я понял, что вектор касательной, когда прямая задана параметрически -- это всегда вектор из производных?

Разумеется

samuil в сообщении #504491 писал(а):

Ок, а алгебраически это как-то можно объяснить?! Меня просто взрывает такая запись $y'(x)=f(t)$!!!!

Ну, напишите

$$ \frac{dy}{dx}(x(t))=f(t), $$

что означает "производная игрека по икс в точке $x(t)$"

Тут и алгебры никакой нет. Водим пальчиком по кривой, приставляем линейку, чертим касательную. Лишь бы понимать что делаешь.

[samuil]

alcoholist в сообщении #504493 писал(а):

Ну, напишите

$$ \frac{dy}{dx}(x(t))=f(t)... $$

Ааа, точно! Так понятнее, но писать просто $x$, а не $x(t)$ удобнее!!

Цитата:

Абсцисса точки пересечения с $OX$ (при $y=0$): $a=R\cos^3t+R\cos t\sin^2t=R\cos t$

Ордината точки пересечения с $OY$ (при $x=0$): $b=R\sin^3t+R\cos^2 t\sin t=R\sin t$

Только пока что с этим не разобрался..., сейчас думаю...

-- 16.11.2011, 16:56 --

$$ \frac{x-R\cos^3t}{-\cos t}=\frac{y-R\sin^3t}{\sin t}. $$

Абсцисса точки пересечения с $OX$ (при $y=0$):

$$ \frac{x-R\cos^3t}{-\cos t}=\frac{0-R\sin^3t}{\sin t}. $$

$$ {x-R\cos^3t}=\frac{R\sin^3t\cos t)}{\sin t}= R\sin^2t\cos t $$

-- 16.11.2011, 16:59 --

Теперь все понятно, действительно, в параметрическом виде -- получается удобнее!!!

Спасибо!!!!!!!!!!!!!!!

[AKM]

samuil,

я не встреваю в обсуждения-решения, но, думаю, Вам будет полезно следующее наблюдение.
Иногда мы рассматриваем кривые $y=f(x)$, и называем их графиком функции. А иногда рассматриваем параметрические кривые $[x(t),y(t)]$. Не всякую кривую можно записать в виде простой функции $y=f(x)$, уже с просто окружностью нельзя так поступить: там две функции получаются, верхняя полуокружнось, и нижняя полуокружность. А параметрически окружность запишем, например, так:

$$x(t)=a+R\cos t,\quad y(t)=b+R\sin t.$$

Так вот, постой случай $y=f(x)$ тоже можно рассматривать параметрически:

$$y(t)=f(t),\quad\color{blue} x(t)=t.$$

И, например, получить для этого самого простого случая вектор касательной в виде $(x'_t,y'_t)=(1,y'_t)=(1,y'_x)$. Можно получить тангенс угла наклона касательной, поделив вертикальный катет на горизонтальный, $\tg\tau(t)=\dfrac{y'_t}{x'_t}=y'_t=y'_x=\tg\tau(x)$.

-- 16 ноя 2011, 21:03 --

Также замечу, что избыточная эмоциональность, в т.ч. избыточные восклицательные знаки являются нарушением Правил форума.

[samuil]

AKM в сообщении #504568 писал(а):

samuil,
Вам будет полезно следующее наблюдение...

Ок, спасибо!

AKM в сообщении #504568 писал(а):

samuil
Также замечу, что избыточная эмоциональность, в т.ч. избыточные восклицательные знаки являются нарушением Правил форума.

Буду знать.

[vvsss]

(Оффтоп)

Дивлюсь я на небо та й думку гадаю

[ИСН]

Теперь, samuil, можете на досуге поразмышлять, является ли астроида окружностью (у Вас вроде была где-то такая гипотеза).

[samuil]

У меня была только такая гипотеза на первой странице этого обсуждения

samuil в сообщении #504281 писал(а):

Только интуиция подсказывает, что ветвь астроиды в первой четверти является "отражением" окружности относительно прямой $y=R-x$

Вот что я имел ввиду (может выразился некорректно)

Если отразить красную ветвь астроиды $(1)$ относительно синей прямой $(2)$, то получится четверть окружности $(3)$

[ИСН]

Да это ясно. Вот и проверьте теперь, если хотите.

[svv]

Думал, как бы попроще доказать, что дуга астроиды -- не дуга окружности, даже после отражения .
И вот мое доказательство.
samuil, присмотритесь к нашей дуге астроиды, которая в первом квадранте.
Наклоните голову на 45° вправо для удобства.
Во-первых, почему после отражения астроиды от прямой она удалилась от этой прямой? Ведь точки в середине дуги астроиды и в середине дуги окружности должны быть симметричны.
Во-вторых, если очень-очень внимательно присмотреться, можно заметить, что в середине дуги астроиды её кривизна вроде как поменьше, она как бы ленится искривляться, а возле углов, наоборот, больше.
А ведь у истинной окружности кривизна везде одна и та же.

[samuil]

ИСН в сообщении #504685 писал(а):

Да это ясно. Вот и проверьте теперь, если хотите.

Придумал только один вариант - как это сделать:

Сделать поворот и сдвиг, чтобы эта синяя прямая стала "осью $y$", а $x$ перпендикулярна ей...

Надо придумать замену...И потом проверить на четность.

-- 17.11.2011, 01:01 --

svv в сообщении #504687 писал(а):

Думал, как бы попроще доказать, что дуга астроиды -- не дуга окружности, даже после отражения .
И вот мое доказательство.
samuil, присмотритесь к нашей дуге астроиды, которая в первом квадранте.
Наклоните голову на 45° вправо для удобства.
Во-первых, почему после отражения астроиды от прямой она удалилась от этой прямой? Ведь точки в середине дуги астроиды и в середине дуги окружности должны быть симметричны.
Во-вторых, если очень-очень внимательно присмотреться, можно заметить, что в середине дуги астроиды её кривизна вроде как поменьше, она как бы ленится искривляться, а возле углов, наоборот, больше.
А ведь у истинной окружности кривизна везде одна и та же.

Мне тоже показалось, что "четверть-окружность" будет подальше отстоять прямой, чем астроида...

[AKM]

svv в сообщении #504687 писал(а):

Во-вторых, если очень-очень внимательно присмотреться, можно заметить, что в середине дуги астроиды её кривизна вроде как поменьше, она как бы ленится искривляться, а возле углов, наоборот, больше.

ИМХО, настолько больше, что она там чуть ли не бесконечна, ну, настолько бесконечна, что за 1 секунду кривая на $180^\circ$ поворачивается, как если бы там какая-то $\delta$-не-функция случилась бы...

[svv]

О, замечательно! Я боялся, что эту разницу тяжело заметить.
Вот такое банальное утверждение: если бы кривизна астроиды была везде одинакова, астроида была бы окружностью.

[Joker_vD]

svv в сообщении #504697 писал(а):

если бы кривизна астроиды была везде одинакова, астроида была бы окружностью.

Ну или прямой

[Алексей К.]

(Оффтоп)

samuil в сообщении #504710 писал(а):

Хочется сказать, что тоже , но если вспомнить дельта-функцию, то там одна точка существенна=)

Странные перипетии нашего образования:
Я вот ни хрена толком не знаю про дельта-функции (хотя иногда вякаю), а уж на астроидах и лог. спиралях бабло для жизни делаю.
А Вы вот ни ..чего.. не знаете про астроиды и лог. спирали, а, оказывается, чего-то в дельта-функциях петряете?