1-2+3-4+5-6+7-8+9-...=0.25?

[DrBreen]

Добрый день.
Недавно наткнулся на интересную особенность ряда вида:
$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} (k+1)$.

По сути,это то же самое,что:
$1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+...$
Очевидно,что этот ряд расходится.

Теперь возьмем функцию $f(x)=\frac{1}{(x+1)^{2}}$
Разложив её в ряд Тейлора,мы получим:
$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} (k+1)x^{k} $
Знакомо,не правда ли?

Известно также,что область сходимости ряда Тейлора функции $f(x)$ есть $ |x|<1$.

Очевидно,что левосторонний предел $\lim_{x\rightarrow 1^{-}} f(x)=\frac{1}{4}=0.25$
Но это же,т.к. мы разложили в ряд Тейлора,есть:
$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} (k+1)\cdot1^k=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} (k+1)$
Получаем,что этот ряд вполне себе сходится и предел его равен 1/4!
$1-2+3-4+5-6+7-8+9-...=0.25 $
То есть сумма целых чисел равна дробному! Как так?
В чем противоречие или почему его нет? Вроде бы область сходимости учтена при помощи одностороннего предела,другого ничего не потеряно.
Уже долго ломаю голову.

[alcoholist]

DrBreen в сообщении #504483 писал(а):

Вроде бы область сходимости учтена

обычно сходимость на границе проверяют "руками", а тут проверка дает расходимость

Придать смысл, однако, этой деятельности можно -- читайте книжку Харди "Расходящиеся ряды"

[Sonic86]

Вообще-то ряд

DrBreen в сообщении #504483 писал(а):

$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} (k+1)x^{k} $

в точке $x=1$ расходится. То, что Вы пишите - это не сумма, и не сумма ряда (что тоже не сумма), а т.н. обобщенная сумма.
Про все это можно почитать в Фихтенгольце, том 2 и в упомянутом alcoholist Харди Расходящиеся ряды.

[ewert]

DrBreen в сообщении #504483 писал(а):

Получаем,что этот ряд вполне себе сходится и предел его равен 1/4!

Не получаем. Связь между аналитической функцией и её рядом Тейлора -- лишь односторонняя. Там, где ряд сходится, он эту функцию и представляет. Обратное же неверно: если ту функцию удаётся продолжить ещё куда-то, то её продолжение к исходному ряду уже никакого формального отношения не имеет.

Хотя, конечно, можно рассматривать такое продолжение как некий способ (один из бесчисленных способов) регуляризации ряда. Только всё это некое жульничество, и окажется ли оно полезным -- зависит от конкретной задачки, в рамках которой оно подсовывается.

[Legioner93]

Продолжая тему о расходящихся рядах: $1+2+3+4+5+6+7+... = -\frac{1}{12}$
P.S. Формула является ссылкой

[svv]

Вот это

Legioner93 писал(а):

P.S. Формула является ссылкой

меня удивило гораздо больше.