Астроида

[samuil]

Ого, точно!

$$b={(R^{2/3}-x^{2/3}_0)^{3/2}+\dfrac{x_0\sqrt{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x_0}}={(R^{2/3}-x^{2/3}_0)\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}_0}+x_0^{2/3}\sqrt{R^{2/3}-x_0^{2/3}}} =$$

$$=R^{2/3}_0\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}_0}$$

$b^2=R^{4/3}_0(R^{2/3}-x^{2/3}_0)$

[Dan B-Yallay]

посмотрите моё предыдущее сообщение об упрощении длины зеленого отрезка.

PS И откуда взялся нулевой индекс у $R$?

[samuil]

Ок, спасибо, сейчас учту и подставлю!

$$\sqrt{b^2+\frac{b^2}{a^2}}= b\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}=\dfrac b {|a|} \sqrt {a^2+1}$$

$|a|=\dfrac{\sqrt{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x_0}}$

$a^2=\dfrac{{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}$

$b=R^{2/3}\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}_0}$

Да, нулевого индекса у $R$ быть не должно, это я случайно за компанию поменял!

Ух какая некрасивая трехэтажная дробь, но не знаю -- как ее аккуратно написать!!!

$$\dfrac{R^{2/3}\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}_0}}{\dfrac{\sqrt{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x_0}}}\sqrt{1+\dfrac{{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}$$

Сокращаются корни и знаменатель наверх...

$$R^{2/3}\cdot\sqrt[3]{x_0}\sqrt{1+\dfrac{{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}$$

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Ух какая некрасивая трехэтажная дробь

Уж какая есть. Зато первая дробь сразу сильно сокращается.

-- Вт ноя 15, 2011 18:06:07 --

samuil в сообщении #504372 писал(а):

Сокращаются корни и знаменатель наверх...

Правильно. Теперь заносим кубический корень икса под большой корень.

(Оффтоп)

Меня прибьют за такие детсадные подсказки.

[samuil]

$$R^{2/3}\cdot\sqrt[3]{x_0}\sqrt{1+\dfrac{{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}=$$

$$=R^{2/3}\cdot\sqrt[3]{x_0}\sqrt{\dfrac{{x^{2/3}_0+R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}=$$

$$=R^{2/3}\cdot\sqrt[3]{x_0}\sqrt{\dfrac{R^{2/3}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}=R^{2/3}\cdot R^{1/3}x^{1/3}\cdot\dfrac{1}{x^{1/3}}=R$$

-- 16.11.2011, 04:13 --

Congratulations!!!! Спасибо огромное!!! Действительно, упростилось!!!!

[Dan B-Yallay]

Cамое главное - надеюсь все сложилось в целую картину.

[samuil]

Да, сложилось!

0) Рассматриваем отрезок касательной в первой четверти (первом квадранте)

1)

a) Пишем, уравнение касательной $y=ax+b$ (1) и определяем точки пересечения с осями координат.

b) Пишем длину отрезка касательной, используя точки пересечения с осями ккординат.

2) Пишем уравнение касательной в виде $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ (2)

3) Сравнивая выражения (1) и (2) - пишем $a=..$, $b=..$

4) Из уравнения астроиды выражаем $y=..$ , учитывая то, что мы работаем в первой четверти.

5) Используя 4 пункт, подставляем значение функции и производной в уравнение касательной в виде $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ (2)

6) Используя уравнения касательной в пункте 5, подставляем в пункт 3 полученные значения для $a$ и $b$

7) Используем формулу для длины касательного отрезка, которая была получена в 1 пункте b) , подставляем значения для $a$ и $b$, полученные в пункте 6, упрощаем до посинения и ... обобщаем на остальные четверти, кроме первой и ... победа!!!

[Dan B-Yallay]

[samuil]

Остался вопрос -- можно ли сказать, что ввиду симметрии -- в остальных четвертях -- все будет также...?!
Или как, мы же рассматривали только первую четверть...

[Dan B-Yallay]

Естественно симметрия.
Но если препод занудный, то можно повторить еще три раза для остальных квадрантов.

[Shadow]

А не облекчится ли жизнь, если записать в параметрическом виде

$\displaystyle\\x=R\cos^3t\\ y=R\sin^3t\\ y'(x)=\frac{y'(t)}{x'(t)}=-\tg t$

Тогда "осями координат" должно быть $y=0; t=\frac{\pi}{2}$

[samuil]

Shadow в сообщении #504458 писал(а):

А не облекчится ли жизнь, если записать в параметрическом виде

$\displaystyle\\x=R\cos^3t\\ y=R\sin^3t\\ y'(x)=\frac{y'(t)}{x'(t)}=-\tg t$

Спасибо, это понятно!

Shadow в сообщении #504458 писал(а):

Тогда "осями координат" должно быть $y=0; t=\frac{\pi}{2}$

А это не понятно...А как дальше быть?!

[alcoholist]

samuil в сообщении #504480 писал(а):

А это не понятно...А как дальше быть?!

Касательная имеет уравнение (после сокращения знаменателей на $3\cos t\sin t$)

$$ \frac{x-R\cos^3t}{-\cos t}=\frac{y-R\sin^3t}{\sin t}. $$

Абсцисса точки пересечения с $OX$ (при $y=0$): $a=R\cos^3t+R\cos t\sin^2t=R\cos t$

Ордината точки пересечения с $OY$ (при $x=0$): $b=R\sin^3t+R\cos^2 t\sin t=R\sin t$

Расстояние между этими точками -- очевидно -- $R$.

[samuil]

Кстати, еще вопрос, который мучает, встречаясь всегда в примерах, где нужно найти производную функции, заданной параметрически... Допустим в нашем примере. $y'(x)=-\tg t$ Получилось, что производная зависит от $t$, а не от $x$....Это как можно объяснить?!

[alcoholist]

Надеюсь, понятно, почему касательная к кривой $x(t)$, $y(t)$ имеет уравнение

$$ \frac{x-x(t)}{x'(t)}=\frac{y-y(t)}{y'(t)}? $$

-- Ср ноя 16, 2011 15:38:23 --

samuil в сообщении #504485 писал(а):

Получилось, что производная зависит от $t$, а не от $x$....Это как можно объяснить?!

Значение $t$ однозначно определяет точку на кривой, тогда как значение $x$ (вот, в случае $x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$, например) -- нет!