2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 02:51 


03/09/11
275
Ого, точно!

$$b={(R^{2/3}-x^{2/3}_0)^{3/2}+\dfrac{x_0\sqrt{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x_0}}={(R^{2/3}-x^{2/3}_0)\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}_0}+x_0^{2/3}\sqrt{R^{2/3}-x_0^{2/3}}} =$$
$$=R^{2/3}_0\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}_0}$$

$b^2=R^{4/3}_0(R^{2/3}-x^{2/3}_0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 02:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
посмотрите моё предыдущее сообщение об упрощении длины зеленого отрезка.

PS И откуда взялся нулевой индекс у $R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 02:59 


03/09/11
275
Ок, спасибо, сейчас учту и подставлю!

$$\sqrt{b^2+\frac{b^2}{a^2}}= b\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}=\dfrac b {|a|} \sqrt {a^2+1}$$

$|a|=\dfrac{\sqrt{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x_0}}$

$a^2=\dfrac{{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}$

$b=R^{2/3}\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}_0}$

Да, нулевого индекса у $R$ быть не должно, это я случайно за компанию поменял!

Ух какая некрасивая трехэтажная дробь, но не знаю -- как ее аккуратно написать!!!

$$\dfrac{R^{2/3}\sqrt{R^{2/3}-x^{2/3}_0}}{\dfrac{\sqrt{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x_0}}}\sqrt{1+\dfrac{{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}$$

Сокращаются корни и знаменатель наверх...


$$R^{2/3}\cdot\sqrt[3]{x_0}\sqrt{1+\dfrac{{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 03:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
Цитата:
Ух какая некрасивая трехэтажная дробь

Уж какая есть. Зато первая дробь сразу сильно сокращается.

-- Вт ноя 15, 2011 18:06:07 --

samuil в сообщении #504372 писал(а):
Сокращаются корни и знаменатель наверх...

Правильно. Теперь заносим кубический корень икса под большой корень.

(Оффтоп)

Меня прибьют за такие детсадные подсказки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 03:12 


03/09/11
275
$$R^{2/3}\cdot\sqrt[3]{x_0}\sqrt{1+\dfrac{{R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}=$$

$$=R^{2/3}\cdot\sqrt[3]{x_0}\sqrt{\dfrac{{x^{2/3}_0+R^{2/3}-x_0^{2/3}}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}=$$

$$=R^{2/3}\cdot\sqrt[3]{x_0}\sqrt{\dfrac{R^{2/3}}{\sqrt[3]{x^2_0}}}=R^{2/3}\cdot R^{1/3}x^{1/3}\cdot\dfrac{1}{x^{1/3}}=R$$

-- 16.11.2011, 04:13 --

Congratulations!!!! Спасибо огромное!!! Действительно, упростилось!!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 03:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
Cамое главное - надеюсь все сложилось в целую картину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 03:27 


03/09/11
275
Да, сложилось!

0) Рассматриваем отрезок касательной в первой четверти (первом квадранте)

1)

a) Пишем, уравнение касательной $y=ax+b$ (1) и определяем точки пересечения с осями координат.

b) Пишем длину отрезка касательной, используя точки пересечения с осями ккординат.

2) Пишем уравнение касательной в виде $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ (2)

3) Сравнивая выражения (1) и (2) - пишем $a=..$, $b=..$

4) Из уравнения астроиды выражаем $y=..$ , учитывая то, что мы работаем в первой четверти.

5) Используя 4 пункт, подставляем значение функции и производной в уравнение касательной в виде $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ (2)

6) Используя уравнения касательной в пункте 5, подставляем в пункт 3 полученные значения для $a$ и $b$

7) Используем формулу для длины касательного отрезка, которая была получена в 1 пункте b) , подставляем значения для $a$ и $b$, полученные в пункте 6, упрощаем до посинения и ... обобщаем на остальные четверти, кроме первой и ... победа!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 03:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
:appl:

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 03:34 


03/09/11
275
Остался вопрос -- можно ли сказать, что ввиду симметрии -- в остальных четвертях -- все будет также...?!
Или как, мы же рассматривали только первую четверть...

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 03:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10057
Естественно симметрия.
Но если препод занудный, то можно повторить еще три раза для остальных квадрантов. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 13:31 


26/08/11
2100
А не облекчится ли жизнь, если записать в параметрическом виде

$\displaystyle\\x=R\cos^3t\\
y=R\sin^3t\\
y'(x)=\frac{y'(t)}{x'(t)}=-\tg t$

Тогда "осями координат" должно быть $y=0; t=\frac{\pi}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 15:20 


03/09/11
275
Shadow в сообщении #504458 писал(а):
А не облекчится ли жизнь, если записать в параметрическом виде

$\displaystyle\\x=R\cos^3t\\
y=R\sin^3t\\
y'(x)=\frac{y'(t)}{x'(t)}=-\tg t$


Спасибо, это понятно!
Shadow в сообщении #504458 писал(а):
Тогда "осями координат" должно быть $y=0; t=\frac{\pi}{2}$

А это не понятно...А как дальше быть?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
samuil в сообщении #504480 писал(а):
А это не понятно...А как дальше быть?!


Касательная имеет уравнение (после сокращения знаменателей на $3\cos t\sin t$)
$$
\frac{x-R\cos^3t}{-\cos t}=\frac{y-R\sin^3t}{\sin t}.
$$

Абсцисса точки пересечения с $OX$ (при $y=0$): $a=R\cos^3t+R\cos t\sin^2t=R\cos t$

Ордината точки пересечения с $OY$ (при $x=0$): $b=R\sin^3t+R\cos^2 t\sin t=R\sin t$

Расстояние между этими точками -- очевидно -- $R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 15:36 


03/09/11
275
Кстати, еще вопрос, который мучает, встречаясь всегда в примерах, где нужно найти производную функции, заданной параметрически... Допустим в нашем примере. $y'(x)=-\tg t$ Получилось, что производная зависит от $t$, а не от $x$....Это как можно объяснить?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Астроида
Сообщение16.11.2011, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Надеюсь, понятно, почему касательная к кривой $x(t)$, $y(t)$ имеет уравнение
$$
\frac{x-x(t)}{x'(t)}=\frac{y-y(t)}{y'(t)}?
$$

-- Ср ноя 16, 2011 15:38:23 --

samuil в сообщении #504485 писал(а):
Получилось, что производная зависит от $t$, а не от $x$....Это как можно объяснить?!



Значение $t$ однозначно определяет точку на кривой, тогда как значение $x$ (вот, в случае $x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$, например) -- нет!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 84 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group