Вариационная задача с несколькими неизвестными

[vanja]

$\\ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}( y_{1}'^{2}+ y_{3}'^{2}+2y_{1}y_{2}+2y_{2}y_{3})dx\\ y_{1}(0)=y_{2}(0)=y_{3}(0)=0, y_{1}(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2},y_{2}(\frac{\pi}{2})=0,y_{3}(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}\\ \begin{cases} 2y_{2}-2y_{1}''=0\\ 2y_{1}+2y_{3}=0\\ 2y_{2}-2y_{3}''=0 \end {cases} $
получаю
$\begin{cases} y_{2}=y_{1}''\\ y_{1}=-y_{3}\\ y_{3}''=y_{2} \end {cases}$
что и куда дальше подставлять?

[V.V.]

Пусть Вы решаете задачу на минимум этого функционала.
Положим на $(\varepsilon,\frac{\pi}{2}-\varepsilon)$
$y_2=-K sgn(y_1+y_3)$, где $K$~--- постоянная.

Доопределим как-нибудь непрерывно на оставшейся части отрезка. Понятно, что при выборе достаточно большого $K>0$ значение функционала будет отрицательным и большим по модулю.

[vanja]

не совсем понятно

[V.V.]

Идея состоит в том, что при каких-нибудь допустимых (т.е. удовлетворяющих граничным условиям) $y_1$ и $y_3$ мы можем подобрать такую функцию $y_2$, что нижняя грань значения функционала будет равна $-\infty$.

[vanja]

ну идея понятна, но что по шагам делать дальше, я так понимаю надо решить однородное уравнение, только как его составить?

[ИСН]

Решать не надо, решение уже получено: минимума нет. Или, если угодно, минимум - минус бесконечность.

[INGELRII]

Это мне одному кажется, что из системы $\begin{cases} y_1''=y_2 \\ y_3''=y_2 \\ y_1=-y_3 \end{cases}$ следует тождественное равенство $y_2$ нулю?

А $y_1$ и $y_3$ тогда будут линейными функциями, которые из начальных условий находятся однозначно?

[V.V.]

INGELRII, в данной задаче не надо решать уравнения Эйлера.

Точно так же, как можно не искать, где равна нулю производная функции $y(x)=x^3-5x^2+9x-198$, чтобы понять, чему равна нижняя грань множества значений $f(x)$.

[vanja]

вообще говоря, мне надо найти $y_{1},y_{2},y_{3}$

[ИСН]

Уже нашли: $y_1,\,y_3$ - любые функции, а про $y_2$ см. в сообщении V.V. Понимаете ответ? Нравится? Нет? Почему?

-- Ср, 2011-11-16, 10:34 --

ну, это если условие написано полностью и верно.

[MaximVD]

Предположу, что в задании нужно было не найти точку минимума (или доказать что минимум не достигается), а потренироваться составлять и решать уравнения Эйлера-Лагранжа. То есть в задании надо было найти экстремали, а не минимум.

vanja, я прав? Или всё-таки нужно было искать минимум?

[vanja]

Цитата:

vanja, я прав? Или всё-таки нужно было искать минимум?

вы правы

[MaximVD]

vanja
В вашем примере система уравнений Эйлера-Лагранжа имеет вид
$ \begin{cases} y''_1 = y_2\\ y_1 = - y_3\\ y''_3 = y_2 \end{cases} $
Продифференцируйте второе уравнение 2 раза, а затем посмотрите на 1-ое и 3-е уравнение, тогда поймёте как найти $y_2$. После этого $y_1$ и $y_3$ легко находятся.

[vanja]

Цитата:

$ \begin{cases} y''_1 = y_2\\ y''_1 = y''_3\\ y''_3 = y_2 \end{cases} $

только я здесь не вижу как получить $y_2$

[MaximVD]

Вы что-то потеряли при дифференцировании.