Вариационная задача с несколькими неизвестными

[Sender]

V.V. в сообщении #503861 писал(а):

Пусть Вы решаете задачу на минимум этого функционала.
Положим на $(\varepsilon,\frac{\pi}{2}-\varepsilon)$
$y_2=-K sgn(y_1+y_3)$, где $K$~--- постоянная.

Доопределим как-нибудь непрерывно на оставшейся части отрезка. Понятно, что при выборе достаточно большого $K>0$ значение функционала будет отрицательным и большим по модулю.

Можно взять $y_2=-K (y_1+y_3)$ на всём $[0,\frac{\pi}{2}]$.

[vanja]

vanja в сообщении #504611 писал(а):

\begin{cases} y''_1 = y_2\\ y''_1 = -y''_3\\ y''_3 = y_2 \end{cases} $
только я здесь не вижу как получить $y_2$

[vanja]

отсюда следует, что $y_{2}=0$?

[MaximVD]

vanja в сообщении #504825 писал(а):

отсюда следует, что $y_{2}=0$?

Да, правильно. Теперь воспользуйтесь этим и найдите $y_1$ и $y_3$.

[vanja]

MaximVD, всё разрешилось, спасибо!

-- Чт ноя 17, 2011 23:19:42 --

правда возник схожий вопрос в другом примере, вот допустим имею систему
$\begin{cases} -y_{2}-y''_{1}=0\\ -y_{1}-y''_{2}=0 \end{cases}$ еще 2 раза продифференцировать что ли? и оба уравнения или только одно?

[ИСН]

Схожий? Ага, как же. Похожи, как хабермас на зябру. Первый был бессмысленный и решать его было не надо, а второй - нормальный пример, нормальный диффур, и решать его надо методами решения диффуров. Слышали что-нибудь про линейные однородные диффуры? Вот это он.

[vanja]

просто тогда я получу $y_1^{(IV)}+y''_2=0$
верно?, если да, то как его решить

-- Чт ноя 17, 2011 23:41:02 --

ИСН, мне надо найти экстремали только

-- Чт ноя 17, 2011 23:45:02 --

хотя, я думаю, что в этом уравнении должны быть либо $y_1$либо $y_2$

[ИСН]

ИСН в сообщении #504946 писал(а):

Слышали что-нибудь про линейные однородные диффуры?

[vanja]

ИСН, да, примерно знаю как решать, но верно ли получено диф. ур-е?

[ИСН]

Откуда я знаю. Вы сюда пришли уже с диффуром (вернее, с системой из двух, но решается-то она по сути так же).

[vanja]

вот я и прошу совета, из этой системы я правильно получен диффур?

[ИСН]

А зачем Вы хотите эту систему сворачивать в один диффур? Впрочем, неважно. Ну, выразите что-нибудь из первого уравнения, подставьте во второе.

[vanja]

ну вот допустим все это сделано, получаю диффур
$y_1^{(IV)}-y_1=0$, решая его получаю
$y_1=C_1e^x+C_2e^{-x}+C_3\sin x+C_4\cos x$ и как при значениях
$y_1(0)=0,y_1(1)=sh1$, получить экстремаль? у меня не получается

[ИСН]

А на $y_2$\!\!\!\!\!\!--- разве нету никаких краевых усл
Эта запись

vanja в сообщении #504983 писал(а):

$y_1(1)=shx$

не делает смысла.

[vanja]

там перепутано было
$y_2(0)=0, y_2(1)=-sh1$