2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение14.11.2011, 21:20 


21/06/09
171
$\\
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}( y_{1}'^{2}+ y_{3}'^{2}+2y_{1}y_{2}+2y_{2}y_{3})dx\\
y_{1}(0)=y_{2}(0)=y_{3}(0)=0, y_{1}(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2},y_{2}(\frac{\pi}{2})=0,y_{3}(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{2}\\
\begin{cases}
2y_{2}-2y_{1}''=0\\
2y_{1}+2y_{3}=0\\
2y_{2}-2y_{3}''=0
\end {cases}
$
получаю
$\begin{cases}
y_{2}=y_{1}''\\
y_{1}=-y_{3}\\
y_{3}''=y_{2}
\end {cases}$
что и куда дальше подставлять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение14.11.2011, 22:24 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Пусть Вы решаете задачу на минимум этого функционала.
Положим на $(\varepsilon,\frac{\pi}{2}-\varepsilon)$
$y_2=-K sgn(y_1+y_3)$, где $K$~--- постоянная.

Доопределим как-нибудь непрерывно на оставшейся части отрезка. Понятно, что при выборе достаточно большого $K>0$ значение функционала будет отрицательным и большим по модулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 00:11 


21/06/09
171
не совсем понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 10:39 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Идея состоит в том, что при каких-нибудь допустимых (т.е. удовлетворяющих граничным условиям) $y_1$ и $y_3$ мы можем подобрать такую функцию $y_2$, что нижняя грань значения функционала будет равна $-\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 10:49 


21/06/09
171
ну идея понятна, но что по шагам делать дальше, я так понимаю надо решить однородное уравнение, только как его составить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Решать не надо, решение уже получено: минимума нет. Или, если угодно, минимум - минус бесконечность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 12:17 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Это мне одному кажется, что из системы $\begin{cases} y_1''=y_2 \\ y_3''=y_2 \\ y_1=-y_3 \end{cases}$ следует тождественное равенство $y_2$ нулю?

А $y_1$ и $y_3$ тогда будут линейными функциями, которые из начальных условий находятся однозначно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение15.11.2011, 17:32 
Заслуженный участник


09/01/06
800
INGELRII, в данной задаче не надо решать уравнения Эйлера.

Точно так же, как можно не искать, где равна нулю производная функции $y(x)=x^3-5x^2+9x-198$, чтобы понять, чему равна нижняя грань множества значений $f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 09:04 


21/06/09
171
вообще говоря, мне надо найти $y_{1},y_{2},y_{3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Уже нашли: $y_1,\,y_3$ - любые функции, а про $y_2$ см. в сообщении V.V. Понимаете ответ? Нравится? Нет? Почему?

-- Ср, 2011-11-16, 10:34 --

ну, это если условие написано полностью и верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 09:58 


14/07/10
206
Предположу, что в задании нужно было не найти точку минимума (или доказать что минимум не достигается), а потренироваться составлять и решать уравнения Эйлера-Лагранжа. То есть в задании надо было найти экстремали, а не минимум.

vanja, я прав? Или всё-таки нужно было искать минимум?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 11:19 


21/06/09
171
Цитата:
vanja, я прав? Или всё-таки нужно было искать минимум?

вы правы

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 12:11 


14/07/10
206
vanja
В вашем примере система уравнений Эйлера-Лагранжа имеет вид
$
\begin{cases}
y''_1 = y_2\\
y_1 = - y_3\\
y''_3 = y_2
\end{cases}
$
Продифференцируйте второе уравнение 2 раза, а затем посмотрите на 1-ое и 3-е уравнение, тогда поймёте как найти $y_2$. После этого $y_1$ и $y_3$ легко находятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 20:55 


21/06/09
171
Цитата:
$
\begin{cases}
y''_1 = y_2\\
y''_1 = y''_3\\
y''_3 = y_2
\end{cases}
$

только я здесь не вижу как получить $y_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариационная задача с несколькими неизвестными
Сообщение16.11.2011, 22:17 


14/07/10
206
Вы что-то потеряли при дифференцировании.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group