Заряженный проводящий отрезок.

[espe]

Morkonwen в сообщении #493832 писал(а):

Допустим у нас есть отрезок металлической проволоки заданной длинны. Мы зарядили его ... Как найти распределение заряда? Задача вообще решается?

Задача вообще решается. Чтобы её решить конкретно нужно задать явно форму поверхности. Если интересует линейная плотность заряда в середине отрезка, то я думаю она не слишком зависит от формы и её можно найти из задачи в Сивухине про эллипсоид

$$\tau\approx\frac{q}{2\sqrt{L^2-x^2}},$$

$L$ --- длина отрезка, $x$ --- расстояние от центра, $x\ll L$.

Распределение заряда на концах будет зависеть от формы проводника, но в любом случае плотность зарада будет возрастать к краям. Как именно зависит от формы проводника.

[Morkonwen]

espeСпасибо за участие, но зачем что то писать не прочитав то что было написано перед вами?

[Alex-Yu]

Morkonwen в сообщении #503980 писал(а):

Проще найти ту поверхность, поле которой такое же, как у проводящей нити.
И что это будет означать? что на некой поверхности заряд как то распределен , но так, что поле как у равномерно заряженной нити. Это и все. Про проводящую нить это ничего не говорит.

Это точное (!) решение для проводника, совпадающего по форме с эквипотнециальной поверхностью заряженного отрезка нити. Это, конечно, не цилиндр. Но нечто близкое к цилиндру. Получается простая оценочная формула, которая работает в качестве грубой оценки для цилиндрического провода. Хотите точнее - есть метод Хоу, несколько похожий, но еще с усреднением. Еще точнее -- решайте уравнение Лапласа для пространства вне цилиндра (это уже численно, судя по всему). А что-то тут обсуждать на самоочевидном месте мне, извините, не досуг, у меня посодержательней дела найдутся.

Кстати, похожим приемом решается (уже точно!) задача о погонной емкости двухпроводной линии с цилиндрическими проводниками. И еще ряд задач. Совершенно стандартная вещь.

-- Вт ноя 15, 2011 18:39:42 --

drug39 в сообщении #503974 писал(а):

Но не учли, что на концах могут быть точечные заряды.

Это малая поправка, исчезающая в пределе длинного провода.

-- Вт ноя 15, 2011 18:44:06 --

Munin в сообщении #503904 писал(а):

То есть вы малый отрезок на точку заменяете? А насколько это правомерно?

Заменяется бесконечно малая часть отрезка на точку. Потом интегрируется.

[drug39]

Morkonwen в сообщении #503980 писал(а):

Для циллиндра равномерно? Ну это то ни в какие ворота!

Alex-Yu в сообщении #504083 писал(а):

Это малая поправка, исчезающая в пределе длинного провода

А где аргументы?..
Если туго с аналитикой, тогда вот картинки (вычислено с какой-то погрешностью, конечно)
$d$ - диаметр цилиндра, $h$ - его высота, $\sigma(\theta)$ - поверхностная плотность заряда на цилиндре, $\theta$ - сферическая координата.
При $h/d=2$

При $h/d=5$

При $h/d=20$

Тенденцию видно без прищуривания глаза: с увеличением параметра $h/d$ в середине отрезка плотность заряда становится все более равномерной, на концах отрезка намечаются дельта-видные довески, перед концами проявляются минимумы, которые становятся все более остры и в пределе их не заметить на фоне максимумов.
Поэтому я и отметил, что Аlex-Yu угадал, почти даже доказал, что в пределе линейная плотность заряда отрезка, за исключением концов, равномерна. Мне же интересно, как аналитически находят вес концевых зарядов.

[Alex-Yu]

drug39 в [url=http
://dxdy.ru/post504259.html#p504259]сообщении #504259[/url] писал(а):

Это малая поправка, исчезающая в пределе длинного провода
А где аргументы?..

Ну уж коли Вы посчитали плотность зарядов (численно, видимо), то посчитайте емкость. Вопрос всеже был про емкость, а не про плотность зарядов. И сами убедитесь, что вклад В ЕМКОСТЬ концевых зарядов в пределе длинного провода много меньше вклада распределенного по проводу заряда. А на счет аргументов... Со студентов требуйте аргументов, я же Вам ничего не обязан

По Вашим картинкам, кстати, вполне видно, что концевые заряды в пределе длинного провода малы по сравнению с зарядом, распределенным по проводу. Линейная плотность там большая, только она (плотность) нам на фиг не нужна, нам до нее нет никакого дела, нам общий заряд нужен. А то, что на концах будет "всплеск" линейной (!) плотности зарядов, физически очевидно. Там же торцы провода! Ни один здравомыслящий физик не станет учитывать заряд торцевой поверхности в такой задаче, тем более что метод все равно грубо-оценочный.

-- Ср ноя 16, 2011 02:33:01 --

drug39 в сообщении #504259 писал(а):

Поэтому я и отметил, что Аlex-Yu угадал, почти даже доказал, что в пределе линейная плотность заряда отрезка, за исключением концов, равномерна.

Линейная плотность зарядов реального проводника в моем оценочном решении вообще нигде не фигурировала! Она там просто ни при чем

[drug39]

Alex-Yu в сообщении #504275 писал(а):

Вопрос всеже был про емкость, а не про плотность зарядов.

ну вы даете. Емкость у отрезка?.. Сами же писали, что потенциал стремится к бесконечности, значит емкость уединенного отрезка к нулю. Если вы про конденсаторную емкость, то нужен второй электрод.

[Morkonwen]

drug39
от вас одни сюрпризы, честное слово. Не ожидал, что вытянутый циллиндр заряжен равномерно с зарядами на концах. физически это мне не понятно То есть отличие с вытянутым эллипсоидом в зарядах на концах? Почему длина на диаграмме обозначена через $\theta$

[Alex-Yu]

drug39 в сообщении #504282 писал(а):

Емкость у отрезка?.

Емкость проводящего тела конечной толщины, причем тут отрезок??? Вы явно ничего не поняли, совсем ничего

[Munin]

drug39
Рассмотрите не цилиндр, а гантель, с шариками на концах. И покажите, что при разных способах стремить диаметры отрезка и шариков к нулю можно получить какие угодно соотношения зарядов на отрезке и на его концах. Или не какие угодно.

Alex-Yu в сообщении #504275 писал(а):

Там же торцы провода! Ни один здравомыслящий физик не станет учитывать заряд торцевой поверхности в такой задаче

Почему? Здравомыслящий физик должен не допускать вклада точечного заряда?

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #504297 писал(а):

Почему? Здравомыслящий физик должен не допускать вклада точечного заряда?

Потому что это превышение точности. Хотите точнее -- решайте честно ур-е Лапласа для цилиндра, внешнюю задачу. Никаких точечных зарядов там, кстати, уже не будет.

-- Ср ноя 16, 2011 03:21:33 --

Munin в сообщении #504297 писал(а):

И покажите, что при разных способах стремить диаметры отрезка и шариков к нулю можно получить какие угодно соотношения зарядов на отрезке и на его концах. Или не какие угодно.

Вот только какое это имеет отношение к рассматриваемому вопросу? А никакого Строго в пределе емкость все равно нулевая получится.

[drug39]

Munin в сообщении #504297 писал(а):

Рассмотрите не цилиндр, а гантель, с шариками на концах. И покажите, что при разных способах стремить диаметры отрезка и шариков к нулю можно получить какие угодно соотношения зарядов на отрезке и на его концах. Или не какие угодно.

Хороший вопрос. Гантель, конечно, считать труднее. Получается подобная картинка. Вес концевых зарядов не какой угодно. Он меньше или равен весу концевых зарядов для цилиндра в зависимости от конкретной формы гантели. Наибольший вес концевых зарядов из вех форм наблюдается у цилиндра. Если форма проводника какой-нибудь чайник с ручкой, то после линейного преобразования его в отрезок также получается подобная картинка, но вес концевых зарядов будет меньше, причем картинка ведь эта симметричная, хотя исходная форма не была таковой. Эллипсоид среди всех форм замечателен тем, что для него вообще не будет концевых зарядов.

Morkonwen в сообщении #504283 писал(а):

Почему длина на диаграмме обозначена через $\theta$

Это не длина, a угол, одна из сферических координат, так называемый зенитный угол, (отмеряется от верха или от оси цилиндра).

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #504302 писал(а):

Никаких точечных зарядов там, кстати, уже не будет.

Точечных не будет, а вот на ребре цилиндра соберётся немало.

drug39 в сообщении #504311 писал(а):

Гантель, конечно, считать труднее.

Её можно огрубить, более "безнаказанно", чем цилиндр.

[drug39]

Munin в сообщении #504346 писал(а):

Её можно огрубить, более "безнаказанно", чем цилиндр.

Действительно, если на концах гантели строго шары, то результат не будет отличаться от эллипсоида. Если на торцах сделать впадины, будут концевые заряды. Решение очень чувствительно к форме торцов. Выше я "разошелся"... Конечно, эллипсоид не единственная форма, для которой не будет концевых зарядов. Гантель, например. И насчет симметрии похоже то же разошелся, несимметричное решение тоже может быть.

[obar]

Morkonwen в сообщении #502898 писал(а):

решения для предельно вытянутого цилиндра и предельно вытянутого эллипсоида получатся разными, что ли?

drug39 в сообщении #502901 писал(а):

Да!

Это не верно. В предельном случае и эллипсоид и цилиндр будут создавать поле как у равномерно заряженной палочки. Докажем это на примере цилиндра.
Рассмотрим полубесконечный проводящий цилиндр радиуса $R$. Обозначим $\sigma_0$ и $\sigma_1$ поверхностные плотности заряда на боковой поверхности цилиндра на бесконечности и у его края. Ввиду отсутствия в этой системе безразмерных параметров величина

$$\alpha=\frac{\sigma_1}{\sigma_0}=const$$

т.е. не зависит от радиуса цилиндра. Соответственно, распределение заряда по цилиндру описывается некоторой универсальной функцией $f(z)$:

$$ \sigma(x)=\sigma_0(\alpha+(1-\alpha)f(x/R))\,,\quad f(0)=0\,,\;f(\infty)=1\,, $$

где $x$ --- расстояние от края цилиндра. Для перехода к предельному случаю будим фиксировать линейную плотность заряда $\lambda_0$ на бесконечности. Поскольку $\lambda=2\pi R\sigma$, то

$$ \sigma(x)=\frac{\lambda_0}{2\pi R}(\alpha+(1-\alpha)f(x/R))\,. $$

Электрическое поле на некотором (фиксированном) расстоянии $\vec{r}$ от цилиндра определяется интегралом от плотности заряда по поверхности цилиндра. Подынтегральная функция пропорциональна выражению

$$ \sigma(x)dS=\frac{\lambda_0}{2\pi R}(\alpha+(1-\alpha)f(x/R))Rd\varphi dx\rightarrow\frac{\lambda_0}{2\pi}d\varphi dx= \sigma_0(x)dS \quad (R\rightarrow0) $$

и поэтому

$$ \vec{E}(\vec{r})=\int\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}\sigma(x)dS\rightarrow\int\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}\sigma_0(x)dS $$

т.е. переходит в поле от равномерно заряженной палочки.
При выводе не учитывалось поле от торца цилиндра. Из тех же размерных соображений следует, что отношение $\sigma_1/\sigma_2=const$, где $\sigma_2$ плотность заряда в центре торца. Поэтому, вклад от торца в пределе стремится к нулю.
Аналогичная задача для эллипсоида решается точно: поле бесконечно тонкого эллипсоида в пределе совпадает с полем равномерно заряженного отрезка. То же будет и для проводников любой другой формы.

[Morkonwen]

obar в сообщении #510740 писал(а):

Ввиду отсутствия в этой системе безразмерных параметров величина ...

У нас не полубесконечный циллиндр а палочка и отношение ее толщины к длинне вполне себе безразмерный параметр.