2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Три вектора
Сообщение15.11.2011, 16:49 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Три ортогональных единичных вектора $a,b,c$ ортогонально же спроецировали на некоторую плоскость. Нам известны два вектора $a_1,b_1$ (проекции $a,b$). Найти вектор $c_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение15.11.2011, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Решение неоднозначно. Для однозначности нужно добавить в условие упоминание о том что действие разворачивается в $\[
\mathbb{R}^3 
\]
$ и что тройка $\[
\vec a,\vec b,\vec c
\]
$ - правая (левая).

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение15.11.2011, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
на этой плоскости вектора $a_1$, $b_1$ придется поворачивать на $\pi/2$, поэтому и плоскость для красоты ответа неплохо бы ориентировать:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение16.11.2011, 15:15 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Обозначим $\alpha=(a_1,c_1),\beta=(b_1,c_1)$. Тогда:

$\frac{(a_1,a_1)-1}{(a_1,b_1)}= \frac { \alpha}{\beta}$

$(a_1,a_1)+(b_1,b_1)+(c_1,c_1)=2$

Отсюда можно выразить $\pm c_1$ через $a_1$ и $b_1$, но лень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение17.11.2011, 06:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Утундрий в сообщении #504212 писал(а):
Решение неоднозначно. Для однозначности нужно добавить в условие упоминание о том что действие разворачивается в $\[
\mathbb{R}^3 
\]
$ и что тройка $\[
\vec a,\vec b,\vec c
\]
$ - правая (левая).
Даже если добавить такое упоминание, решение всё равно неоднозначно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение17.11.2011, 08:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Она к тому же ещё и некорректна. Если $\vec n$ -- единичная нормаль к плоскости, то $\vec a=\vec a_1+t\vec n$ и $\vec b=\vec b_1+s\vec n$, откуда $t=\pm\sqrt{1-|\vec a_1|^2}$ и $s=\pm\sqrt{1-|\vec b_1|^2}$. Но, кроме того, должно быть ещё и $\vec a\perp\vec b$, откуда для неизвестных $t,s$ получается третье уравнение: $ts=-\vec a_1\cdot\vec b_1$. Ну и с какой стати этим трём уравнениям быть совместными?...

Если же они всё-таки каким-нибудь чудом оказались совместными, то (после нахождения $t$ и $s$) будет $\vec c=\pm\big(\vec a_1\times\vec b_1+\vec n\times(t\vec b_1-s\vec a_1)\big)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение17.11.2011, 08:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
ewert в сообщении #504772 писал(а):
Если же они всё-таки каким-нибудь чудом оказались совместными


То, что данные два вектора -- проекции ортогональных, есть в условии задачи.

ewert в сообщении #504772 писал(а):
будет $\vec c=\pm\big(\vec a_1\times\vec b_1+\vec n\times(t\vec b_1-s\vec a_1)\big)$


значит $c_1$ -- повернутый на $\pi/2$ вектор $t\vec b_1-s\vec a_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение20.11.2011, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Да, не получается однозначности. Искомый вектор можно найти лишь с точностью до знака.

Пусть $\[
{\mathbf{e}}_i ,\mathbf{n} \in \mathbb{R}^3 ;i = 1,2,3;{\mathbf{e}}_i  \cdot {\mathbf{e}}_k  = \delta _{ik} ;{\mathbf{e}}_1  \times {\mathbf{e}}_2  = {\mathbf{e}}_3 ;{\mathbf{n}} \cdot {\mathbf{n}} = 1
\]
$. Тогда $\[
{\mathbf{e}}_i  \equiv {\mathbf{E}}_i  + {\mathbf{n}}N_i ;{\mathbf{E}}_i  \cdot {\mathbf{n}} = 0
\]
$. Даны $\[
{\mathbf{E}}_1 ,{\mathbf{E}}_2 
\]
$, требуется найти $\[
{\mathbf{E}}_3 
\].

$

(Решение)

$\[
\begin{gathered}
  \delta _{ik}  = {\mathbf{e}}_i  \cdot {\mathbf{e}}_k  = {\mathbf{E}}_i  \cdot {\mathbf{E}}_k  + N_i N_k  \Rightarrow N_i  \equiv \sigma _i \sqrt {1 - E_i^2 } ;\sigma _i^2  = 1 \hfill \\
  N_1 N_2  =  - {\mathbf{E}}_1  \cdot {\mathbf{E}}_2  \Rightarrow \sigma _1 \sigma _2  =  - \operatorname{sign} \left( {{\mathbf{E}}_1  \cdot {\mathbf{E}}_2 } \right) \hfill \\
  {\mathbf{e}}_1  \times {\mathbf{e}}_2  = {\mathbf{e}}_3  \Rightarrow {\mathbf{E}}_3  = {\mathbf{E}}_1  \times {\mathbf{n}}N_2  - {\mathbf{E}}_2  \times {\mathbf{n}}N_1  \Rightarrow {\mathbf{E}}_3  \times {\mathbf{n}} = {\mathbf{E}}_2 N_1  - {\mathbf{E}}_1 N_2  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$

Таким образом, искомый вектор $\[{\mathbf{E}}_3 \]$ перпендикулярен вектору $\[{\mathbf{E}}_2 N_1  - {\mathbf{E}}_1 N_2 \]$ и имеет длину, равную модулю этого вектора.

Ну, после того как вывод сделан, нетрудно его "обосновать". Зеркально отразим $\[
{\mathbf{e}}_1 
\]
$ и $\[
{\mathbf{e}}_2 
\]
$ относительно плоскости проекции. $\[
{\mathbf{E}}_1 ,{\mathbf{E}}_2 
\]
$ при этом останутся прежними, а $\[
{\mathbf{E}}_3 
\]
$ изменит знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение20.11.2011, 11:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Утундрий в сообщении #505562 писал(а):
Искомый вектор можно найти лишь с точностью до знака.

До двух знаков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение20.11.2011, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
ewert в сообщении #505584 писал(а):
До двух знаков.

Относительный знак $N_1$ и $N_2$ известен, так что до одного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение20.11.2011, 11:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Утундрий в сообщении #505593 писал(а):
Относительный знак $N_1$ и $N_2$ известен, так что до одного.

Чисто геометрически очевидно, что как минимум до двух (независимых). Векторы $\vec a$ и $\vec b$, восстанавливаются с точностью до отражения обоих относительно плоскости; это один знак. И второй, выбираемый независимо от первого, задаёт направление вектора $\vec c$ перпендикулярно плоскости векторов $\vec a,\;\vec b$. Ну и потом можно выяснить, что других вариантов, кроме этих четырёх, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение20.11.2011, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
ewert, после слова "пусть" чуть более внимательно читаем...

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение20.11.2011, 12:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Утундрий в сообщении #505609 писал(а):
ewert, после слова "пусть" чуть более внимательно читаем...

Зачем?... Это уже Ваше творчество, в оригинальном условии про ориентации -- ни слова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение21.11.2011, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
ewert в сообщении #505597 писал(а):
Векторы $\vec a$ и $\vec b$, восстанавливаются с точностью до отражения обоих относительно плоскости; это один знак.
Искомый вектор $\vec c_1$ при таком отражении не меняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три вектора
Сообщение21.11.2011, 11:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TOTAL в сообщении #506061 писал(а):
Искомый вектор $\vec c_1$ при таком отражении не меняется.

Кто такой $\vec c_1$?... А впрочем, неважно -- и он тоже меняется.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group