Относительность движения.

[Munin]

Если у вас есть возражения, выкладывайте.

Я попытался (популярно, с упрощениями и без многочисленных уточнений) изложить точку зрения большинства физиков.

Про открытие гелия и про современное использование данных астрофизики и космологии как экспериментальных я в курсе. Про них можно было бы рассказать любознательному школьнику, но закоренелому фрику - надо вдолбить основные азы, а не подробности. Речь, напоминаю, о том, выполняется ли в природе принцип относительности.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #501089 писал(а):

Я даже не знаю такой, только до третьей.

Ну, как бы, вторая – уход от планеты, третья – от звезды, четвертая – из галактики. Хотя, тоже думаю, что вполне достаточно и двух, первая – тангенциальная, вторая – радиальная.

Munin в сообщении #501089 писал(а):

Вы вообще можете эту фразу внятно по-русски перевести? И к чему она была сказана?

К тому, что в условиях гравитации для покоящегося наблюдателя (например, на поверхности массивного тела), ход часов по отношению к ходу часов удаленного наблюдателя, определяется формулой:

$$t' = t \sqrt{1-\frac{2GM}{Rc^2}}$$

А поскольку вторая космическая скорость составляет:

$$v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

то формулу замедления времени для покоящегося наблюдателя, можно представить в виде:

$$t' = t \sqrt{1-\frac{v_2^2}{c^2}}$$

Таким образом, получается, что вторая космическая скорость определяет замедление времени в точке, покоящейся относительно массивного тела. Скорость тангенциально направленного луча света (с точки зрения удаленного наблюдателя), должна соответственно упасть:

$$c' = c \sqrt{1-\frac{v_2^2}{c^2}}$$

иначе в условиях замедленного хода часов покоящегося наблюдателя, непосредственно регистрируемая скорость света не будет являться константой. Верно?

[Munin]

Можете ведь, когда захотите.

Так вот, я вам больше скажу. $\tfrac{v^2}{2}$ - это кинетическая энергия, а $-\tfrac{GM}{R}$ - потенциальная. Вторая космическая скорость попросту по определению соответствует ситуации, когда они равны друг другу.

При чём здесь это? При том, что вообще формула гравитационного замедления времени определяется формулой

$$dt'=\sqrt{1-\dfrac{2E}{c^2}}\,dt\approx\left(1-\dfrac{E}{c^2}\right)dt.$$

А всякие космические скорости тут ни при чём.

Всё это написано в каждом учебнике по ОТО.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #503957 писал(а):

Всё это написано в каждом учебнике по ОТО.

Ну, мало ли там чего всякого-разного в учебниках по ТО понаписано…

Munin в сообщении #503957 писал(а):

$\tfrac{v^2}{2}$ - это кинетическая энергия, а $-\tfrac{GM}{R}$ - потенциальная.

Вообще-то, еще сегодня утром у меня было стойкое убеждение в том, что кинетическая энергия определяется несколько иной формулой:

$$T=\frac{mv^2}{1-\frac{v^2}{c^2}+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Munin в сообщении #503957 писал(а):

вообще формула гравитационного замедления времени определяется формулой

$$ dt'=\sqrt{1-\dfrac{2E}{c^2}}\,dt\approx\left(1-\dfrac{E}{c^2}\right)dt.$$

Довольно странная формула, особенно если учесть, что $\tfrac{E}{c^2}$ – это масса. В ней случайно ничего не потерялось, типа там всяких радиусов, гравитационных постоянных? Возможно, Вы имели в виду формулу (нечто похожее мне в учебниках попадалось):

$$dt'=\sqrt{1-\dfrac{2\Phi}{c^2}}\,dt$$

где $\Phi =-\tfrac{GM}{R}$

Поскольку гравитационная постоянная $G$ проходит с отрицательным знаком, то в действительности формула гравитационного замедления времени должна иметь вид:

$$dt'=\sqrt{1+\dfrac{2GM}{Rc^2}}\,dt$$

А если сюда еще и энергию приплести, то получим:

$$dt'=\sqrt{1+\dfrac{2GE}{Rc^4}}\,dt$$

Munin в сообщении #503957 писал(а):

А всякие космические скорости тут ни при чём.

Как видим, это с кинетической энергией непосредственная взаимосвязь как-то не просматривается. Зато со второй космической скоростью такая взаимосвязь налицо.
Известно, что согласно ОТО, пробное тело захватывается гравитацией в окрестностях черной дыры при радиусе $\tfrac{3GM}{c^2}$(Д.Сиама «Физические принципы общей теории относительности», «Мир», М, 1971, гл. 8, стр. 85):

Цитата:

Любая частица, движущаяся из бесконечности к источнику и подошедшая к нему ближе чем на $3GM/c^2$, непременно будет захвачена им.

А что произойдет с космическим кораблем, имеющим двигатели? Несложно убедиться в том, что орбитальная (первая космическая) скорость на таком радиусе составляет «всего-навсего» 0,5774c. Казалось бы, подкинь дровишек, и уходи себе от ЧД. Ан нет, не получится, вторая космическая не даст, которая тоже составляет «всего лишь» 0,8165c. Если по правилу параллелограмма сложить первую и вторую космические скорости:

$$v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$

то получим результирующую скорость $v=c$.
Теперь, рассчитав коэффициент сокращений (согласно СТО) при $v_2=0,8165$, получаем $K=0,5774$ и убеждаемся, что тангенциальная скорость света на данной орбите:

$$c'=c\sqrt{1+\frac {v_2^2}{c^2}}$$

(с отрицательной $v_2$, направленной к центру) как раз соответствует первой космической скорости. Таким образом, очевидно, что космическому кораблю не только не удастся уйти от ЧД с данной орбиты, но и удержаться на ней, т.к. скорость света для физического тела недосягаема.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #503957 писал(а):

Можете ведь, когда захотите.

Munin, не узнаю, Вы ли это? Такое ощущение, что под Вашим ником кто-то хакерит потихоньку.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Ну, мало ли там чего всякого-разного в учебниках по ТО понаписано…

Не "мало ли". Если вы пользуетесь формулами ОТО, вы находитесь в рамках ОТО. Иначе извольте не пользоваться формулами, не имеющими вне этой теории никакого смысла.

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Вообще-то, еще сегодня утром у меня было стойкое убеждение в том, что кинетическая энергия определяется несколько иной формулой:

$$T=\frac{mv^2}{1-\frac{v^2}{c^2}+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Когда говорят о второй космический скорости, то скорости подразумеваются нерелятивистские, иначе формулы были бы другие. Если вы забыли, как выводится вторая космическая скорость (через энергию), советую вам перечитать школьный учебник.

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Довольно странная формула, особенно если учесть, что $\tfrac{E}{c^2}$ – это масса.

Нет, это не масса. Это энергия.

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Возможно, Вы имели в виду формулу (нечто похожее мне в учебниках попадалось):

$$dt'=\sqrt{1-\dfrac{2\Phi}{c^2}}\,dt$$

где $\Phi =-\tfrac{GM}{R}$

Я именно это и имел в виду и именно это и написал, но $\Phi$ ($E$) определяется не этой формулой, а может быть каким угодно, вычисленным в рамках ньютоновской теории.

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Поскольку гравитационная постоянная $G$ проходит с отрицательным знаком

Да, спасибо, в знаке я ошибся.

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Как видим, это с кинетической энергией непосредственная взаимосвязь как-то не просматривается. Зато со второй космической скоростью такая взаимосвязь налицо.

Вы всё перепутали. Связь второй космический скорости с кинетической энергией самая тесная, какая только может быть: это, по сути, одна и та же величина. Но замедление времени связано именно с энергией, поскольку энергия может быть какой угодно, не только ньютоновской, и даже вообще не только гравитационной. У атома, помещённого в гравитационное поле планеты, уровни энергии пропорционально сближаются, и соответственно период колебаний, соответствующих переходу между этими уровнями, в такой же пропорции увеличивается (при измерении удалённым наблюдателем).

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Известно, что согласно ОТО, пробное тело захватывается гравитацией в окрестностях черной дыры при радиусе $\tfrac{3GM}{c^2}$(Д.Сиама «Физические принципы общей теории относительности», «Мир», М, 1971, гл. 8, стр. 85):

Нет, эта величина имеет другой смысл: предел, при котором не может быть не захвачено никакое тело, даже движущееся со скоростью света, если оно движется изначально не в сторону увеличения радиуса (таким образом, одновременно предел орбитальных движений). Сиама - не учебник по ОТО (всего лишь популярная книга), и вы так и не будете ничего понимать, если будете читать только эту книгу.

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

А что произойдет с космическим кораблем, имеющим двигатели? Несложно убедиться в том, что орбитальная (первая космическая) скорость на таком радиусе составляет «всего-навсего» 0,5774c. Казалось бы, подкинь дровишек, и уходи себе от ЧД. Ан нет, не получится, вторая космическая не даст, которая тоже составляет «всего лишь» 0,8165c. Если по правилу параллелограмма сложить первую и вторую космические скорости:

$$v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$

то получим результирующую скорость $v=c$.

Нет никакого смысла складывать скорости, каждая из которых имеет смысл суммарной, не говоря уже о том, что правило параллелограмма в области релятивистских скоростей не действует (и сложением двух досветовых скоростей никак нельзя получить световую).

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Теперь, рассчитав коэффициент сокращений (согласно СТО) при $v_2=0,8165$, получаем $K=0,5774$ и убеждаемся, что тангенциальная скорость света на данной орбите:

$$c'=c\sqrt{1+\frac {v_2^2}{c^2}}$$

(с отрицательной $v_2$, направленной к центру) как раз соответствует первой космической скорости.

Все эти вычисления не несут ровно никакого смысла.

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Таким образом, очевидно, что космическому кораблю не только не удастся уйти от ЧД с данной орбиты, но и удержаться на ней, т.к. скорость света для физического тела недосягаема.

"Удержаться на орбите", и после этого "уйти с орбиты" для корабля действительно невозможно, но его никто и не заставляет там удерживаться. Уйти из этой точки на бесконечность (с соответствующим запасом топлива) ему можно запросто. Достаточно просто не пытаться вначале встать на орбиту, что невозможно.

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Munin, не узнаю, Вы ли это? Такое ощущение, что под Вашим ником кто-то хакерит потихоньку.

Увидел у вас пару внятных формул, порадовался. Как видно, просветление было случайным, и радость - преждевременной. Продолжать разбираться, и вообще учиться, вы не пожелали. Снова свалили всё в неразборчивую кучу.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #504673 писал(а):

Если вы пользуетесь формулами ОТО, вы находитесь в рамках ОТО. Иначе извольте не пользоваться формулами, не имеющими вне этой теории никакого смысла.

Теория относительности, она и есть теория относительности. А от того, что рассматривается несколько иная модель в рамках всё той же теории, формулы ОТО не перестают быть осмысленными.

Munin в сообщении #504673 писал(а):

Когда говорят о второй космический скорости, то скорости подразумеваются нерелятивистские

Это в окрестностях ЧД космические скорости нерелятивистские? Скорости как раз околосветовые, а формулы при таких-то скоростях, действительно применяются вполне себе ньютоновские. Получается, что, несмотря на околосветовую скорость относительно массивного тела, релятивистская скорость у падающего из бесконечности тела – нулевая. Чего нельзя сказать о теле, уходящем из окрестностей ЧД, у которого релятивистская скорость больше относительной.

Munin в сообщении #504673 писал(а):

Когда говорят о второй космический скорости, то скорости подразумеваются нерелятивистские, иначе формулы были бы другие.

Это когда говорят о второй космической с точки зрения удаленного наблюдателя. Поскольку покоящийся относительно массивного тела наблюдатель находится в условиях воздействия эффектов СТО, для вычисления космических скоростей с точки зрения покоящегося наблюдателя, уже необходимо применять релятивистские формулы. Так что, всё зависит от того, из какой системы отсчета ведется наблюдение.

Munin в сообщении #504673 писал(а):

Нет никакого смысла складывать скорости, каждая из которых имеет смысл суммарной, не говоря уже о том, что правило параллелограмма в области релятивистских скоростей не действует

Ну, тут Вы неправы. Представьте, что относительно Вас движется космический корабль со скоростью, скажем, 0,8c, а от него под углом 90° к курсу КК движется космический аппарат со скоростью 0,3c. Элементарно складываете их скорости по правилу параллелограмма:

$\sqrt{0{,}8^2+0{,}3^2}=0{,}8544$

и в результате получаете скорость КА относительно Вас.

Munin в сообщении #504673 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Теперь, рассчитав коэффициент сокращений (согласно СТО) при $v_2=0,8165$, получаем $K=0,5774$ и убеждаемся, что тангенциальная скорость света на данной орбите:

$$c'=c\sqrt{1+\frac {v_2^2}{c^2}}$$

(с отрицательной $v_2$, направленной к центру) как раз соответствует первой космической скорости.

Все эти вычисления не несут ровно никакого смысла.

Эти вычисления показывают, что тангенциальная скорость света (с точки зрения удаленного наблюдателя) на орбите радиусом $\tfrac{3GM}{c^2}$, как раз соответствует первой космической скорости, благодаря чему фотон и может удерживаться на данной орбите.

Munin в сообщении #504673 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Поскольку гравитационная постоянная $G$ проходит с отрицательным знаком

Да, спасибо, в знаке я ошибся.

Со знаком в этих формулах ошибки не Ваши и не мои – это системные ошибки. Ведь, даже в общеизвестных формулах типа $R=\tfrac{3GM}{c^2}$, радиус как бы должен получаться отрицательной величиной. Поэтому предлагаю в дальнейшем не обращать внимания на знак гравитационной постоянной, а произведение $GM$ в формулах считать величиной положительной.

Munin в сообщении #504673 писал(а):

Если вы забыли, как выводится вторая космическая скорость (через энергию), советую вам перечитать школьный учебник.

Ну что же, с энергией Вы меня уели, но это только для второй космической с точки зрения удаленного наблюдателя. В моем представлении, для покоящегося наблюдателя скорость ухода на бесконечность должна вычисляться с учетом релятивистских факторов:

$$ v_2'=\frac{v_2}{1-\frac{2v_2^2}{c^2}}$$

откуда:

$$ v_2'=\sqrt{\frac{2GMRc^4}{(Rc^2-4GM)^2}}$$

Munin в сообщении #504673 писал(а):

У атома, помещённого в гравитационное поле планеты, уровни энергии пропорционально сближаются, и соответственно период колебаний, соответствующих переходу между этими уровнями, в такой же пропорции увеличивается (при измерении удалённым наблюдателем).

Совершенно верно – у атома, помещённого в гравитационное поле, но не у падающего из бесконечности.

Munin в сообщении #504673 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #504635 писал(а):

Таким образом, очевидно, что космическому кораблю не только не удастся уйти от ЧД с данной орбиты, но и удержаться на ней, т.к. скорость света для физического тела недосягаема.

"Удержаться на орбите", и после этого "уйти с орбиты" для корабля действительно невозможно, но его никто и не заставляет там удерживаться. Уйти из этой точки на бесконечность (с соответствующим запасом топлива) ему можно запросто.

Совершенно верно. Вот давайте и попробуем рассчитать, с какой скоростью (с точки зрения удаленного наблюдателя) космический корабль пройдет $\tfrac{3GM}{c^2}$ радиально двигаясь от ЧД с максимально возможной (теоретически) скоростью. А заодно и попробуем найти минимальный радиус, за которым этот КК может выключить двигатели и по инерции уйти на бесконечность.
По моим расчетам, на радиусе $\tfrac{3GM}{c^2}$ скорость КК составит около 55012941 м/сек, а выключить двигатель он сможет за радиусом $\tfrac{8GM}{c^2}$. У Вас другие результаты расчетов?

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Теория относительности, она и есть теория относительности. А от того, что рассматривается несколько иная модель в рамках всё той же теории, формулы ОТО не перестают быть осмысленными.

Если вы рассматриваете несколько иную модель в рамках всё той же теории, то нечего писать "мало ли там чего всякого-разного в учебниках по ТО понаписано".

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Это в окрестностях ЧД космические скорости нерелятивистские?

Нет, это в школьной формуле $v_2=\sqrt{2GM/R}$ скорости нерелятивистские. В окрестностях чёрной дыры этой формулой пользоваться нельзя.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Скорости как раз околосветовые, а формулы при таких-то скоростях, действительно применяются вполне себе ньютоновские.

Нет. Формулы применяются шварцшильдовские. Кстати, они зависят от тонкостей выбора системы координат, так что могут вообще выглядеть по-разному. Стандартный выбор координат ведёт к формулам, внешне похожим на ньютоновские, хотя и имеющим совсем другой смысл:

$$ds^2=\left(1-\dfrac{2MG}{r}\right)dt^2-\dfrac{dr^2}{1-\frac{2MG}{r}}-r^2d\theta^2-r^2\sin^2\theta\,d\varphi^2$$

($g_{00}$ - не имеет смысл квадрата ньютоновского потенциала, кроме как в нерелятивистской области $r\gg 2MG$). Но существуют и другие системы координат, просто реже упоминаемые, например, "пространственно изотропные":

$$ds^2=\dfrac{\left(1-\frac{MG}{2\rho}\right)^2}{\left(1+\frac{MG}{2\rho}\right)^2}dt^2-\left(1+\dfrac{MG}{2\rho}\right)^4\left(d\rho^2+\rho^2d\theta^2+\rho^2\sin^2\theta\,d\varphi^2\right),$$

или гармонические:

$$ds^2=\left(\dfrac{1-\frac{MG}{R}}{1+\frac{MG}{R}}\right)dt^2-\left(1+\dfrac{MG}{R}\right)^2d\mathbf{X}^2-\left(\dfrac{1+\frac{MG}{R}}{1-\frac{MG}{R}}\right)\dfrac{M^2G^2}{R^4}\left(\mathbf{X}\cdot d\mathbf{X}\right)^2.$$

Видно, что $g_{00}$ в них выглядит совсем иначе.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Получается, что, несмотря на околосветовую скорость относительно массивного тела, релятивистская скорость у падающего из бесконечности тела – нулевая. Чего нельзя сказать о теле, уходящем из окрестностей ЧД, у которого релятивистская скорость больше относительной.

Такую ерунду вообще нельзя сказать. "Релятивистской скорости" (в том смысле, в котором вы пытаетесь употребить это словосочетание) вообще не бывает. Бывает скорость относительно того или иного местного наблюдателя, или относительно той или иной системы координат. Любая скорость относительна - это принципиально.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Это когда говорят о второй космической с точки зрения удаленного наблюдателя. Поскольку покоящийся относительно массивного тела наблюдатель находится в условиях воздействия эффектов СТО, для вычисления космических скоростей с точки зрения покоящегося наблюдателя, уже необходимо применять релятивистские формулы. Так что, всё зависит от того, из какой системы отсчета ведется наблюдение.

Удалённый наблюдатель и есть покоящийся. И, покоящийся находится в условиях эффектов ОТО. Только если он начнёт двигаться, к нему прибавятся ещё эффекты СТО (также являющиеся эффектами ОТО, и часто не учитываемые как что-то отдельное).

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Ну, тут Вы неправы. Представьте, что относительно Вас движется космический корабль со скоростью, скажем, 0,8c, а от него под углом 90° к курсу КК движется космический аппарат со скоростью 0,3c. Элементарно складываете их скорости по правилу параллелограмма

Элементарно не по правилу параллелограмма, а по релятивистскому закону сложения скоростей

$$\mathbf{v}'=\dfrac{\mathbf{v}+\mathbf{u}+(\gamma-1)\frac{\mathbf{u}}{u^2}(\mathbf{uv}+u^2)}{\gamma(1+\mathbf{uv})}.$$

Для перпендикулярных скоростей видно, что остаётся дополнительное слагаемое в числителе и множитель в знаменателе.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Эти вычисления показывают, что тангенциальная скорость света (с точки зрения удаленного наблюдателя) на орбите радиусом $\tfrac{3GM}{c^2}$, как раз соответствует первой космической скорости, благодаря чему фотон и может удерживаться на данной орбите.

Это называется пришли к тому, с чего начали. Разумеется, фотон может удерживаться на данной орбите, но ваши "вычисления" здесь ни при чём, даже не считая ошибок, которые вы в них делаете.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Со знаком в этих формулах ошибки не Ваши и не мои – это системные ошибки. Ведь, даже в общеизвестных формулах типа $R=\tfrac{3GM}{c^2}$, радиус как бы должен получаться отрицательной величиной.

Нет, ошибки чисто ваши, константа $G$ положительная, и радиус тоже положительный (к тому же, это и не радиус, а шварцшильдовская координата).

Моя ошибка (одна-единственная, и та описка) с вашими заблуждениями не имеет ничего общего.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Поэтому предлагаю в дальнейшем не обращать внимания на знак гравитационной постоянной, а произведение $GM$ в формулах считать величиной положительной.

Ваше "оригинальное предложение" в точности совпадает с тем, как это принято в физике, о чём вы могли бы узнать в старшей школе.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Ну что же, с энергией Вы меня уели, но это только для второй космической с точки зрения удаленного наблюдателя. В моем представлении

Ваши необразованные представления никакой роли не играют, и я их пропускаю.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Совершенно верно – у атома, помещённого в гравитационное поле, но не у падающего из бесконечности.

У падающего этот эффект компенсируется увеличением кинетической энергии атома, но дополнительно включается эффект Доплера, и суммарный результат сложнее.

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Вот давайте и попробуем рассчитать, с какой скоростью (с точки зрения удаленного наблюдателя) космический корабль пройдет $\tfrac{3GM}{c^2}$ радиально двигаясь от ЧД с максимально возможной (теоретически) скоростью. А заодно и попробуем найти минимальный радиус, за которым этот КК может выключить двигатели и по инерции уйти на бесконечность. ...У Вас другие результаты расчетов?

Это некорректно поставленная задача, так что результатов нет и быть не может.

Вы знаете, мне неинтересно продолжать всю эту мутатень. Начали мы с того, что вы на основании каких-то апелляций к четвёртой космической скорости и Шварцшильду заявили, что какая-то система отсчёта выделена. Эта тема, как я погляжу, кончилась, и теперь вы просто выковыриваете из носа всё новые и новые якобы-формулы (на самом деле без малейшего понимания, что все эти значки значат), и не проявляете ни малейшего интереса к физике, ОТО, тяготению и релятивистским эффектам (иначе давно начали бы читать учебники).

Если вы не предложите чего-нибудь более достойного для обуждения, я в одностороннем порядке прекращаю разговор. Вопросы, нацеленные на понимание вами физики - достойный предмет для обсуждения, например. Но пока вы вместо вопросов высказываете соображения, и все ошибочные.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #505026 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #504951 писал(а):

Ну, тут Вы неправы. Представьте, что относительно Вас движется космический корабль со скоростью, скажем, 0,8c, а от него под углом 90° к курсу КК движется космический аппарат со скоростью 0,3c. Элементарно складываете их скорости по правилу параллелограмма

Элементарно не по правилу параллелограмма, а по релятивистскому закону сложения скоростей

Возможно, Вы невнимательно прочитали условие. Это с Вашей точки зрения космический корабль движется со скоростью 0,8c, а от него под углом 90° к курсу КК движется космический аппарат (с Вашей же точки зрения) со скоростью 0,3c.
Тут и без формулы сложения скоростей проверить – проще пареной репы. В ИСО КК часы идут замедлено по отношению к Вашим (покоящимся) с коэффициентом $K_0'=0{,}6$. Это означает, что за 1 сек. по часам КК, по Вашим часам пройдет $\tfrac{1}{0{,}6}=1{,}6667$ сек. При скорости КА относительно Вас $V_0''=0{,}8544$, коэффициент сокращений составит $K_0'=0{,}5196$, и за этот же промежуток времени, по часам КА должно пройти ${1{,}6667}\cdot{0{,}5196}=0{,}866$ сек.
При коэффициенте сокращений ИСО КК $K_0'=0{,}6$, с точки зрения наблюдателя КК перпендикулярная к собственному курсу скорость КА составляет $V_1''=\tfrac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5$, т.к. в перпендикулярной к курсу плоскости, проходящей через точку наблюдения, прочие эффекты СТО (кроме замедления времени) не наблюдаются. Перейдя в ИСО КК и назначив ее покоящейся, находим коэффициент сокращений для ИСО КА $K_1''=0{,}866$ и убеждаемся, что и в данном случае за 1 сек. по часам КК, по часам КА пройдет 0,866 сек.
Если желаете вычислить по формуле релятивистского сложения скоростей, то и тут не вижу препятствий. В формулу:

$$V_0''= \frac { \sqrt {\left(V_0'^2 + V_1''^2 + 2V_0'V_1''\cos\alpha_1 \right) - \left(V_0'V_1''\sin \alpha_1\right)^2}}{ 1 + V_0'V_1''\cos\alpha_1}$$

подставляем значения $\sin 90^{\circ}=1$ и $\cos 90^{\circ}=0$:

$$V_0''= \sqrt {V_0'^2 + V_1''^2 - V_0'^2V_1''^2}$$

И, преобразовав ее, получаем до боли знакомую формулу прямоугольного треугольника:

$$V_0''= \sqrt {V_0'^2 + \left(V_1''\sqrt{1 - V_0'^2}\right)^2}$$

А, подставив правильные значения переменных $V_0'=0{,}8,\, V_1''=0{,}5$, получим всё ту же скорость КА относительно Вас $V_0''=0{,}8544$. Так что, как ни верти, как ни крути, в данном случае получается всё тот же прямоугольный треугольник. Будете оспаривать?
Вот уж действительно, такие заморочки, и где, в СТО на ровном месте.

Munin в сообщении #505026 писал(а):

Удалённый наблюдатель и есть покоящийся. И, покоящийся находится в условиях эффектов ОТО.

Так-то оно так, вот только один небольшой нюанс – покоиться на бесконечном удалении от массивного тела и покоиться в непосредственной близости к нему, как говорится – две большие разницы. Первый покоится себе и покоится, а второму (для того, чтобы покоиться) необходим достаточно мощный работающий двигатель, удерживающий наблюдателя в данной произвольной точке покоя. Такой «покой» мало чем отличается от «покоя», скажем, катера, прущего против течения со скоростью течения.

Munin в сообщении #505026 писал(а):

Бывает скорость относительно того или иного местного наблюдателя, или относительно той или иной системы координат. Любая скорость относительна - это принципиально.

Умгу. Особенно если учесть, что для «покоящегося» в условиях гравитации космического корабля с включенными двигателями, характерны как раз такие проявления эффектов СТО (замедление времени, сокращение пространства, неодновременность), как при движении в «плоском» пространстве относительно покоящегося бесконечно удаленного наблюдателя со скоростью, соответствующей скорости $v_2$ в точке «покоя». Хорош «покой», который только снится.
Вы полагаете, что это всё просто случайные совпадения?

Munin в сообщении #505026 писал(а):

Начали мы с того, что вы на основании каких-то апелляций к четвёртой космической скорости и Шварцшильду заявили, что какая-то система отсчёта выделена. Эта тема, как я погляжу, кончилась

Не передергивайте, прочитайте заголовок темы. И о выделенной системе отсчета никаких заявлений с моей стороны не было. А вот о том, что в условиях гравитации (в отличие от «плоского» пространства СТО) появляются вполне конкретные точки отсчета – от «плоского» пространства на бесконечности до максимально сокращенного на радиусе Шварцшильда, как раз и толкую, и между этими точками существует своеобразная линейка – вторая космическая $v_2$, благодаря которой СТО напрямую переходит в ОТО.

(Оффтоп)

Munin, снова не узнаю Вас, что это Вы так заметались? Опять такое ощущение, что с различными людьми под одним ником общаюсь. Если в один день Вы уверенно утверждаете, что:

Munin в сообщении #504673 писал(а):

"Удержаться на орбите", и после этого "уйти с орбиты" для корабля действительно невозможно, но его никто и не заставляет там удерживаться. Уйти из этой точки на бесконечность (с соответствующим запасом топлива) ему можно запросто.

а на следующий же день по тому же поводу безапелляционно заявляете:

Munin в сообщении #505026 писал(а):

Это некорректно поставленная задача, так что результатов нет и быть не может.

невольно возникает такая мысль.

Так запросто или как, или вообще никак? Вы уж между себя там разберитесь, пожалуйста.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #505225 писал(а):

Вы полагаете, что это всё просто случайные совпадения?

Я полагаю, что всё это увлечённые, но невежественные измышления. Скучные для меня. Поэтому я умываю руки. На ученика, которому можно объяснять до посинения, вы не тянете.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #505026 писал(а):

Вопросы, нацеленные на понимание вами физики - достойный предмет для обсуждения, например.

Ладно, вопросы, так вопросы. Не такое ли представление о событиях, происходящих в окрестностях ЧД, является общепринятым? Цитата из Вики:

Цитата:

В некоторый момент собственного времени тело пересечёт горизонт событий. С точки зрения наблюдателя, падающего вместе с телом, этот момент ничем не выделен, однако возврата теперь нет. Тело оказывается в горловине (её радиус в точке, где находится тело и есть ), сжимающейся столь быстро, что улететь из неё до момента окончательного схлопывания (это и есть сингулярность) уже нельзя, даже двигаясь со скоростью света.
…
из-за гравитационного поля все физические процессы с точки зрения удалённого наблюдателя будут идти всё медленнее и медленнее из-за гравитационного замедления времени: часы, закреплённые на радиальной координате r без вращения ($r = \operatorname{const},\, \theta = \operatorname{const},\, \varphi = \operatorname{const}$), будут идти медленнее бесконечно удалённых в $1/\sqrt{1-r_s/r}$ раз. Будет казаться, что тело — в чрезвычайно сплющенном виде — будет замедляться, приближаясь к горизонту событий и, в конце концов, практически остановится.

Всё думал, откуда взялась эта хохма про полкирпича (в одной из параллельных тем), бесконечно долго торчащего из ЧД, и который убулькивал в дыру после расширения дыры в следствии попадания в нее очередной порции вещества, которое попасть туда не может, как и те самые полкирпича? Вон, оказывается, откуда.

Munin в сообщении #505026 писал(а):

вы вместо вопросов высказываете соображения, и все ошибочные.

Вот такое представление правильное?

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #505486 писал(а):

Не такое ли представление о событиях, происходящих в окрестностях ЧД, является общепринятым? Цитата из Вики...

У вас две ошибки фактические и одна методическая.
Методическая ошибка: читать об этом надо не Вики, а учебники. Вам их перечисляли неоднократно, все они свободно доступны в сети. Могу и ещё раз перечислить:
Ландау, Лифшиц "Теория поля"
Вайнберг "Гравитация и космология" (издано как "Вейнберг", если будете искать в каталогах)
Мизнер, Торн, Уилер "Гравитация" в 3 томах
Хокинг, Эллис "Крупномасштабная структура пространства-времени"
более специализированные
Чандрасекар "Математическая теория чёрных дыр"
Новиков, Фролов "Физика чёрных дыр"
Торн, Прайс, Макдональд "Чёрные дыры. Мембранный подход"

Фактические ошибки: во-первых, в этой области основные результаты - это не что-то "общепринятое", а вычисленные, доказанные и общепризнанные результаты. Их не требовалось кому-то "принимать". Они были железобетонно-доказательными с самого начала. Во-вторых, всё описанное - это не сами по себе представления. Это всего лишь их последствия, небольшая часть, и не самая интересная (хотя очень возбуждающая для дилетантов). Сами по себе представления - это метрика, например, Шварцшильда, в вариантах, например, Эддингтона-Финкельштейна, Леметра или Крускала (Крускала-Сегереша).

С.Мальцев в сообщении #505486 писал(а):

Всё думал, откуда взялась эта хохма про полкирпича

Вы можете воспринимать любые физические результаты как хохмы, но мне это не интересно, и заинтересованности в разговоре с вами не добавит.

С.Мальцев в сообщении #505486 писал(а):

Вот такое представление правильное?

Правильное-то оно правильное, вот только там много слов, уточняющих нюансы, которые вам даже в голову не приходят, и смысл написанного в целом вряд ли тот, который вам представляется. Это нужно предварительно долго учиться правильно понимать и воспринимать эти слова, чтобы понимать, что в этом коротком отрывке на самом деле сказано. А вы как раз подобным обучением и пренебрегаете.

Кстати, боюсь, про сплющенный вид они там загнули, но проверить лень... См. "пространственно-изотропную" метрику в post505026.html#p505026 , вторая по счёту формула.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #505526 писал(а):

во-первых, в этой области основные результаты - это не что-то "общепринятое", а вычисленные, доказанные и общепризнанные результаты. Их не требовалось кому-то "принимать". Они были железобетонно-доказательными с самого начала.

Ну, с самого начала, было несколько иное представление – невозможно отличить, находится ли наблюдатель в ускоренной СО, либо находится в покое в условиях гравитации.
А «железобетонным» доказательством могло бы послужить, например, непосредственное наблюдение за тем полукирпичем, постепенно замедляющимся и зависнувшим у горизонта событий.

Munin в сообщении #505526 писал(а):

Во-вторых, всё описанное - это не сами по себе представления. Это всего лишь их последствия, небольшая часть, и не самая интересная (хотя очень возбуждающая для дилетантов). Сами по себе представления - это метрика, например, Шварцшильда, в вариантах, например, Эддингтона-Финкельштейна, Леметра или Крускала (Крускала-Сегереша).

Очень хорошо по этому поводу сам Эйнштейн высказался:

Цитата:

Математика — наиболее совершенный способ водить самого себя за нос.

Возьмите за основу непосредственно преобразования Лоренца, в результате получатся одни следствия, возьмите за основу пространство Минковского – несколько другие. Хотя, в первом приближении различия и незаметны, на выходе получатся совершенно разные представления.

Munin в сообщении #505526 писал(а):

Сами по себе представления - это метрика

Сами по себе представления – это непрерывная цепь непротиворечивых логических рассуждений на качественном уровне, а формулы, графики, метрики и прочее – это всего лишь их математическое отображение на количественном уровне. И, если на вопрос: «из-за чего в условиях гравитации происходит сокращение пространства?», в ответ звучит нечто типа: «из-за того, что метрика такая», то извините, это не ответ, т.к. остается только добавить – «а метрика такая потому, что пространство сокращено».

Munin в сообщении #505526 писал(а):

Правильное-то оно правильное, вот только там много слов, уточняющих нюансы, которые вам даже в голову не приходят, и смысл написанного в целом вряд ли тот, который вам представляется. Это нужно предварительно долго учиться правильно понимать и воспринимать эти слова, чтобы понимать, что в этом коротком отрывке на самом деле сказано.

Правильно понимать что? То, что в приведенном отрывке в одну кучу свалены различные системы отсчета, а скорость хода часов покоящегося у ЧД наблюдателя определяет скорость свободно падающего с точки зрения удаленного? Вот разогнать их до околосветовых скоростей навстречу друг другу, и понаблюдать, как благодаря замедлению хода часов каждого из них, они начнут «зависать» один относительно другого.
Не надо быть сильно продвинутым, чтобы на самом деле увидеть там следующее: свет (локально) изотропно распространяется именно в системе отсчета того наблюдателя, который покоится у самого горизонта событий, а распространение света (с точки зрения удаленного наблюдателя) соответствует отклонению (сокращению) собственного пространства и замедлению собственного времени наблюдателя у ЧД. Отсюда, если в тангенциальном направлении скорость света составляет $c_{\tg}'=c\sqrt{1-r_s/r}$ (в соответствие с ходом часов), то в радиальном направлении $c_{r}'=c(1-r_s/r)$ (еще и сокращение пространства), причем, радиальная скорость света не зависит от направления излучения – к ЧД или от нее. Поскольку радиальная скорость света (в направлении к ЧД) падает, то должен замедляться и свободно падающий наблюдатель. А вовсе не из-за того, что «все физические процессы с точки зрения удалённого наблюдателя будут идти всё медленнее и медленнее».

Munin в сообщении #505526 писал(а):

Кстати, боюсь, про сплющенный вид они там загнули, но проверить лень...

У Вас там что, сокращение пространства и замедление времени по отдельным статьям проходят? Вы полагаете, что можно вот так запросто пространство разогнуть, а скорость хода времени оставить нулевой? Или, в таком случае, у падающего наблюдателя и часики пошустрее закрутятся, и он сможет пешком обогнать тот фотон, из-за которого он и «завис»?

[Someone]

Господи, С.Мальцев, какую же безграмотную чушь Вы пишете...

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

А «железобетонным» доказательством могло бы послужить, например, непосредственное наблюдение за тем полукирпичем, постепенно замедляющимся и зависнувшим у горизонта событий.

Вы неправильно себе представляете, что происходит при падении кирпича в чёрную дыру. Кирпич падает под горизонт за конечное собственное время. Представьте себе, что кирпич миллион раз в секунду посылает радиосигнал удалённому наблюдателю, докладывая о своём местоположении. За конечное собственное время он успеет послать лишь конечное число сигналов. Для удалённого наблюдателя это означает, что он в какой-то момент получит последний сигнал, а в дальнейшем никакой информации о кирпиче получить уже не сможет. В частности, не сможет увидеть кирпич, "зависший" у горизонта событий.

С точки зрения самого кирпича он вовсе не зависает, а наоборот, разгоняется. И совсем не сплющивается. Точнее, на него действуют приливные силы (те самые, которые создают приливы в земных океанах). Эти силы стремятся растянуть кирпич в направлении движения и сжать в поперечных направлениях. В какой-то момент кирпич разрушится. Когда именно - зависит от прочности кирпича и размеров чёрной дыры. По оценкам, человек, падающий в чёрную дыру солнечной массы, будет разорван приливными силами на расстоянии около 200 км от чёрной дыры.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Возьмите за основу непосредственно преобразования Лоренца, в результате получатся одни следствия, возьмите за основу пространство Минковского – несколько другие.

Это ерунда. Из преобразований Лоренца самих по себе вообще ничего не следует. Точно так же, как из преобразований Галилея или любых других. Любую физику можно описывать в любых системах координат. Поэтому классическая механика следует не из преобразований Галилея, а из ньютоновских представлений о пространстве и времени (в классической механике тоже можно рассматривать пространство-время; у него будет специфическая геометрия, называемая геометрией Галилея). И СТО следует не из преобразований Лоренца, а из эйнштейновских представлений о пространстве и времени (здесь пространство-время имеет геометрию Минковского).

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Вот разогнать их до околосветовых скоростей навстречу друг другу, и понаблюдать, как благодаря замедлению хода часов каждого из них, они начнут «зависать» один относительно другого.

Зачем всякие идиотизмы придумывать? Летящие навстречу друг-другу наблюдатели будут видеть, что чужие часы идут быстрее (это называется эффектом Доплера). И никакого "зависания" не увидят.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

У Вас там что, сокращение пространства и замедление времени по отдельным статьям проходят?

Я не понял, о каком замедлении времени и сокращении пространства Вы говорите. Вы не могли бы разъяснить этот пункт подробнее?

[С.Мальцев]

Someone в сообщении #505914 писал(а):

Я не понял, о каком замедлении времени и сокращении пространства Вы говорите.

Вот об этом:

Цитата:

В некоторый момент собственного времени тело пересечёт горизонт событий. С точки зрения наблюдателя, падающего вместе с телом, этот момент ничем не выделен, однако возврата теперь нет. Тело оказывается в горловине (её радиус в точке, где находится тело и есть ), сжимающейся столь быстро, что улететь из неё до момента окончательного схлопывания (это и есть сингулярность) уже нельзя, даже двигаясь со скоростью света.
…
из-за гравитационного поля все физические процессы с точки зрения удалённого наблюдателя будут идти всё медленнее и медленнее из-за гравитационного замедления времени: часы, закреплённые на радиальной координате r без вращения ($r = \operatorname{const},\, \theta = \operatorname{const},\, \varphi = \operatorname{const}$), будут идти медленнее бесконечно удалённых в $1/\sqrt{1-r_s/r}$ раз. Будет казаться, что тело — в чрезвычайно сплющенном виде — будет замедляться, приближаясь к горизонту событий и, в конце концов, практически остановится.

Someone в сообщении #505914 писал(а):

Летящие навстречу друг-другу наблюдатели будут видеть, что чужие часы идут быстрее (это называется эффектом Доплера).

Нет слов, сражен наповал. А когда разминутся, их часы пойдут медленнее...

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Ну, с самого начала, было несколько иное представление

Вот какие были представления с самого начала:
1916: Карл Шварцшильд, сингулярное статическое решение уравнений гравитационного поля, которое описывает минимальную черную дыру
1918: Рейсснер и Нордстрём, решение уравнений Эйнштейна, которые описывают заряженную черную дыру
1938: Оппенгеймер и Сербер, есть верхний предел массы для стабильности нейтронных звезд
1939: Оппенгеймер и Снайдер, коллапс нейтронных звезд образует черную дыру.
1958: Дэвид Финкельштейн, разрешает характер горизонта событий черной дыры
1963: Рой Керр, решение для вращающейся черной дыры
1964: Роджер Пенроуз, черные дыры должны содержать сингулярности
1964: Гинзбург, Дорошкевич, Новиков, Зельдович, черные дыры не имеют волос
1966: обнаружен рентгеновский источник Лебедь X-1
1967: Джон Уилер, ввел термин "черная дыра"

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Очень хорошо по этому поводу сам Эйнштейн высказался

Нет, не по этому.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Возьмите за основу непосредственно преобразования Лоренца, в результате получатся одни следствия, возьмите за основу пространство Минковского – несколько другие. Хотя, в первом приближении различия и незаметны, на выходе получатся совершенно разные представления.

Это только если вы неграмотны и ничего сделать толком не умеете.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Сами по себе представления – это непрерывная цепь непротиворечивых логических рассуждений на качественном уровне, а формулы, графики, метрики и прочее – это всего лишь их математическое отображение на количественном уровне.

Этот бред неинтересен.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

И, если на вопрос: «из-за чего в условиях гравитации происходит сокращение пространства?», в ответ звучит нечто типа: «из-за того, что метрика такая», то извините, это не ответ, т.к. остается только добавить – «а метрика такая потому, что пространство сокращено».

Вы так думаете только потому, что абсолютно ничего не знаете и не понимаете, и слово "метрика" вам ничего не говорит. Человеку разбирающемуся оно говорит очень много.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Правильно понимать что? То, что в приведенном отрывке в одну кучу свалены различные системы отсчета

Не "свалены в одну кучу", а сопоставлены.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Правильно понимать что? То, что... скорость хода часов покоящегося у ЧД наблюдателя определяет скорость свободно падающего с точки зрения удаленного?

Вот видите, уже неправильно. Этого в приведённом отрывке нет, и это неверно, это просто ваши дурные домыслы.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Не надо быть сильно продвинутым, чтобы на самом деле увидеть там следующее

Чтобы напридумать неграмотных глупостей, действительно, не надо быть сильно продвинутым. А вот чтобы их не придумывать, надо. Чтобы понимать, что это всё глупости и их придумывание - бестолковое занятие.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Отсюда, если в тангенциальном направлении скорость света составляет $c_{\tg}'=c\sqrt{1-r_s/r}$ (в соответствие с ходом часов), то в радиальном направлении $c_{r}'=c(1-r_s/r)$ (еще и сокращение пространства)

Нету там "сокращения пространства". А есть неграмотное игнорирование определений, прежде всего - того, как в шварцшильдовских стандартных координатах вводится координата $r.$

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

причем, радиальная скорость света не зависит от направления излучения – к ЧД или от нее.

Только в одной специально выбранной системе координат (ну пусть в нескольких). К тому же, в настолько неудобной, что на горизонте там появляется координатная особенность. Если бы в голове были знания, а не мусор, не возникало бы даже идеи, что то, что имеет место не во всех системах координат - физический факт.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Поскольку радиальная скорость света (в направлении к ЧД) падает, то должен замедляться и свободно падающий наблюдатель. А вовсе не из-за того, что «все физические процессы с точки зрения удалённого наблюдателя будут идти всё медленнее и медленнее».

Это вообще-то два разных слагаемых, которые надо учитывать оба. Если бы не ваше баранье презрение к "формулам, графикам, метрикам и прочему", вы бы это знали.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

У Вас там что, сокращение пространства и замедление времени по отдельным статьям проходят? Вы полагаете, что можно вот так запросто пространство разогнуть, а скорость хода времени оставить нулевой?

Вы полагаете, что все эти словеса имеют хоть какой-то смысл? Ровно никакого.

С.Мальцев в сообщении #505860 писал(а):

Или, в таком случае, у падающего наблюдателя и часики пошустрее закрутятся, и он сможет пешком обогнать тот фотон, из-за которого он и «завис»?

Никто не завис.

Итак, ещё раз:

Я полагаю, что всё это увлечённые, но невежественные измышления. Скучные для меня.

Вы меня пока что не заинтересовали внятным предметом для разговора.

-- 21.11.2011 00:32:20 --

Someone в сообщении #505914 писал(а):

В какой-то момент кирпич разрушится. Когда именно - зависит от прочности кирпича и размеров чёрной дыры. По оценкам, человек, падающий в чёрную дыру солнечной массы, будет разорван приливными силами на расстоянии около 200 км от чёрной дыры.

После обнаружения сверхмассивных (галактических) чёрных дыр (которых сейчас известно в 10 раз больше, чем звёздной массы) эта страшилка больше не особенно актуальна. Кирпич может разорвать уже внутри чёрной дыры (при приближении к сингулярности это неизбежно), а горизонт пройти в целом состоянии.

С.Мальцев в сообщении #505934 писал(а):

Вот об этом

Я вам уже говорил, нехрен читать Википедию.

С.Мальцев в сообщении #505934 писал(а):

Нет слов, сражен наповал. А когда разминутся, их часы пойдут медленнее...

Не часы пойдут медленнее, а они будут видеть, что часы пойдут медленнее. Вы в самом деле не понимаете, или прикидываетесь?